Fastviskometrische Gleitlagerströmung

Zusammenfassung

Die Bewegung eines „einfachen Fluids“ in dem engen Spalt zwischen einem feststehenden äußeren und einem rotierenden inneren Kreiszylinder wird für kleine Exzentrizitätε als fast-viskometrische Strömung behandelt; dies läuft auf eine inε lineare Theorie hinaus. Die Anordnung kann als Gleitlager mit nicht-newtonscher Schmierflüssigkeit aufgefaßt werden. Da die Strömung eben ist, reduziert sich der Formalismus der fast-viskometrischen Strömung erheblich gegenüber demjenigen bei allgemein räumlicher Strömung. Im Stoffgesetz des einfachen Fluids in fast-viskometrische Strömung werden nur vier, anstatt neun, Kernfunktionen benötigt; in die Berechnung der auf den rotierenden Zylinder wirkenden Kraft gehen nur drei Kernfunktionen ein. Diese Kernfunktionen hängen über die Verträglich-keitsbedingungen mit den viskometrischen Funktionen des Fluids zusammen; für ihre Zeitabhängigkeit wird ein einfacher Exponentialansatz mit einer einzigen Gedächtniszeit gemacht. Die Berechnung der Strömung läuft dann auf die Ermittlung zweier Funktionenψ (x ₁,x₂) undf(x ₁) hinaus, von denenψ die Stromlinienform undf im wesentlichen die Druckverteilung im Spalt bestimmt.

Um zu einfachen analytischen Ergebnissen zu gelangen, wird nach der mit der Umlaufszeit des inneren Zylinders entdimensionierten Gedächtniszeit entwikkelt; von dieser Entwicklung werden die beiden ersten Glieder berechnet. Nach der Bestimmung vonψ undf wird die auf den rotierenden Zylinder wirkende Kraft ermittelt. Für die zur Auslenkungsrichtung des Zylinders senkrechte Kraftkomponente ergibt sich ein an anderer Stelle hergeleitetes Ergebnis: diese Kraftkomponente hat dieselbe Größe wie für ein newtonsches Fluid, wobei an die Stelle der Viskosität des fiktiven newtonschen Fluids die differentielle Viskosität des nicht-newtonschen Fluids tritt. Die zur Auslenkungsrichtung des Zylinders parallele Kraftkomponente ist proportional zur dimensionslosen Gedächtniszeit.

Summary

The motion of a “simple fluid” in the narrow gap between a fixed outer and a rotating inner cylinder is treated, for small valuesε of the excentricity, as a nearly viscometric flow; this leads to an approximation which is linear inε. This device can be considered to be a journal bearing with a non-newtonian lubricant. Because the flow is plane the formalism of nearly viscometric flow can be simplified considerably as compared with the general three-dimensional case. Only four of the nine kernel functions appearing in the constitutive equation of a simple fluid in nearly viscometric flow are needed; for the calculation of the force acting on the rotating cylinder only three kernel functions are necessary. The kernel functions are connected with the viscometric functions of the fluid through the compatibility conditions. Simple exponential dependency on time, with a single memory time, is assumed for the kernel functions. The calculation of the flow field is equivalent to the determination of two functions,ψ (x ₁,x₂) andf (x ₁). The functionψ determines the streamline shape and the functionf (x ₁) essentially determines the pressure in the gap.

With the aim of obtaining simple analytical results,ψ andf are expanded in power series with respect to the nondimensionalized memory time; two terms of the expansion are calculated explicitly. The results are used to determine the force acting on the rotating cylinder. For the component acting perpendicular to the displacement of the cylinder a result is found which had been derived previously in an elementary way. This component has the same magnitude as for a newtonian fluid, provided the viscosity of the fictitious newtonian fluid is identified with the differential viscosity of the real fluid. The force component parallel to the displacement of the inner cylinder is proportional to the nondimensional memory time.