Some graphical methods for the analysis of mechanical and dielectric relaxation data

Summary

Three types of coordinate systems for the analysis of relaxation data are examined. When the data can be described by a single relaxation time, the graphs are straight lines. The slopes and intercepts of these lines can be used to evaluate the parameters which characterize the process, such as relaxation time. The advantages and disadvantages of displaying data with each of these types of coordinate systems are known and can be applied here.

When more than one relaxation time is present, the graphs are curves. Nevertheless, the limiting slopes and intercepts can still be used to estimate the relaxation parameters. In this case various average relaxation times, 〈τ〉 _p , are obtained,

$$\left\langle \tau \right\rangle _p = {{\sum\limits_{i = 1}^m {\Delta _i } \tau _i^p } \mathord{\left/ {\vphantom {{\sum\limits_{i = 1}^m {\Delta _i } \tau _i^p } {\sum\limits_{i = 1}^m {\Delta _i } }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\sum\limits_{i = 1}^m {\Delta _i } }}$$

wherem is the number of relaxation processes,τ _i andΔ _i are the time and magnitude of thei-th process andp is any integer between −3 and +4. These averages are useful both as a means of characterizing the distribution of relaxation times and determining other parameters describing the relaxation process.

The application of these graphical methods is illustrated in two specific areas: the frequency dependence of the shear modulus and ultrasonic longitudinal wave propagation. For these two examples the expressions for the intercepts and limiting slopes are evaluated. With these expressions the graphs of experimental data can be used to estimate the relevant parameters.

A section discussing the special case of a system with two relaxation times is also included. This section illustrates how intuitive generalization from a case with one relaxation time can be misleading.

Zusammenfassung

Drei Typen von Koordinatensystemen für die Analyse von Relaxationsdaten werden untersucht. Sind die Daten mittels einer einzigen Relaxationszeit beschreibbar, dann besteht die graphische Darstellung aus geraden Linien. Die Steigungen und Achsenschnittpunkte dieser Linien können dazu benützt werden, um die den Prozeß charakterisierenden Parameter, z. B. die Relaxationszeit, abzuschätzen. Die Vor- und Nachteile der Datendarstellung mit jedem dieser drei Koordinatensystemtypen sind wohlbekannt und können hier angewandt werden.

Gibt es mehr als eine Relaxationszeit, dann bestehen die graphischen Darstellungen aus Kurven. Jedoch können die begrenzenden Steigungen und Schnittpunkte immer noch benützt werden, um die Relaxationsparameter abzuschätzen. In diesem Fall werden verschiedene mittlere Relaxationszeiten 〈τ〉 _p erhalten:

$$\left\langle \tau \right\rangle _p = {{\sum\limits_{i = 1}^m {\Delta _i } \tau _i^p } \mathord{\left/ {\vphantom {{\sum\limits_{i = 1}^m {\Delta _i } \tau _i^p } {\sum\limits_{i = 1}^m {\Delta _i } }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\sum\limits_{i = 1}^m {\Delta _i } }}$$

wobeim die Zahl der Relaxationsprozesse ist,τ _i undΔ _i die Zeit und Größe desi-ten Prozesses sind, undp irgendeine ganze Zahl zwischen −3 und +4 ist. Diese Mittelwerte sind zur Charakterisierung der Verteilung von Relaxationszeiten sowie zur Bestimmung anderer Parameter, die den Relaxationsprozeß beschrieben, nützlich.

Die Anwendung dieser graphischen Methode wird in zwei bestimmten Gebieten erläutert, und zwar für die Frequenzabhängigkeit des Schermoduls und der Ausbreitung von longitudinalen Ultraschallwellen. Für diese zwei Beispiele werden die Ausdrücke für Schnittpunkte und begrenzenden Steigungen abgeschätzt. Mit diesen Ausdrücken können die graphischen Darstellungen von experimentellen Daten zur Abschätzung der entsprechenden Parameter benützt werden.

Der spezielle Fall eines Systems mit zwei Relaxationszeiten wird auch diskutiert. Dieser Abschnitt zeigt, inwieweit intuitive Verallgemeinerung aus dem Fall einer einzigen Relaxationszeit irreführend sein kann.