Zusammenfassung
Die vorliegende Arbeit bildet die Fortsetzung einer vorausgegangenen desselben Verfassers1, in der die besonderen, mit einer “gefährlichen Fläche im engeren Sinne” verbundenen “gefährlichen Raumgebiete” ausführlich behandelt wurden. Hier werden nunmehr allgemeine “gefährliche Raumgebiete” untersucht, nämlich solche, bei denenallgemeine “gefährliche Flächen” als Grundflächen dienen. Als “gefährliche Flächen im allgemeinen oder engeren Sinne” werden dabei jene aus zwei Zentren aufgenommene Flächen bezeichnet, bei denen die Hauptaufgabe der Photogrammetriezwei wesentlich verschiedene beziehungsweise zweizusammen- (d. h. genügend nahe)gerückte Lösungen aufweist.
Die vollständigen geometrischen Begrenzungen solcher Raumgebiete bestehen auch im allgemeinen Fall aus jezwei orthogonalen Regelflächen zweiten Grades, die mit der Grundfläche einemlinearen Büschel angehören. Die Grundkurve vierter Ordnung dieses Büschels zerfällt in einen geraden kubischen Kreis und ene seiner Sehnen. Jede andere in diesem Büschel enthaltene Fläche zweiten Grades ist ebenfalls orthogonal und besitzt desgleichen zwei adjungierte Erzeugenden, welche durch die Aufnahmezentren gehen. Dabei ist besonders zu beachten, daß diese Erzeugendenpaare zweikongruente Strahlbüschel erfüllen.
Werden die beiden Zielstrahlbündel in allgemeiner Weise gegeneinander verlagert, so existiert immer ein solches Flächenbüschel von folgender Eigenschaft: Die durch die Punkte seiner Flächen jeweils einander zugeordneten Zielstrahlbüschel haben in der zweiten Lage der Bündel stets dieselbe Parallaxe, und zwar in je zwei von ∞1 Raumrichtungen, die zu einer Stellung parallel sind, eine andere. Ferner zeigt sich, daß auch umgekehrt jedes Flächenbüschel von der genannten Beschaffenheit auf unendlich viele Arten als Büschel von derartigen Flächen konstanter Parallaxe aufgefaßt werden kann. Gleiches gilt im wesentlichen auch für die eingangs erwähnten Sonderfälle, bei welchen jedoch bloß infinitesimale (praktisch gesprochen, in gewissen engen Grenzen gehaltene) Bündelbewegungen in Frage kommen.
Man gewinnt damit folgende, für die Photogrammetrie wohl grundlegend wichtige Erkenntnis:Durch jede Verlagerung der beiden Zielstrahlbündel (Projektorensysteme) und die kleinste am Geländemodell gerade noch meßbare y-Parallaxe (die hier über den gesamten Aufnahmeraumkonstant vorausgesetzt wird)ist immer bereits ein “gefährliches Raumgebiet” vollständig bestimmt.
Diese Ergebnisse werden in den nachfolgenden Zeilen durchaus zweckdienlich auf anschaulich-geometrischem Wege entwickelt. Wir stützen uns dabei einerseits auf eine Reihe noch kaum beachteter Sätze über gerade kubische Kreise und orthogonale Regelflächen zweiten Grades (s. unter1 und2), andererseits auf gewisse, vom Verfasser erst vor kurzem angegebene Parallaxeneigenschaften zweier Sehstrahlbündel, die hier (unter3) ebenfalls rein geometrisch bestätigt werden. Schließlich wird (unter4) auf die Begrenzungsflächen der in Rede stehenden allgemeinen “gefährlichen Raumgebiete” näher eingegangen.
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Literatur
J. Krames, Über die “gefährlichen Raumgebiere” der Luftphotogrammetrie, Photographische Korrespondenz 84 (1948), S. 1–16.
In dieser Form wurde dies zuerst ausgesprochen inJ. Krames, Zur Ermittlung eines Objektes aus zwei Perspektiven (Ein Beitrag zur Theorie der “gefährlichen Örter”), Monatsh. Math. Phys. 49 (1941), S. 327–354. — Auf diese Arbeit soll in der Folge kurz mit “Z E” verwiesen werden. — Die Regelflächen zweiten Grades, die durch kongruente Ebenenbüschel mitkomplexen Achsen erzeugbar sind, sollen bei einer anderen Gelegenheit noch ausführlicher behandelt werden.
Siehe “Z E”, Nr. 4, S. 338.
Dies gilt bekanntlich für alle Raumkurven dritter Ordnung auf einer Fläche zweiten Grades. Wegen der Literatur hierüber siehe etwa Enzykl. Math. Wissensch. III C 2 (O. Staude), Nr. 94.
Vgl.J. Krames, Darstellende und kinematische Geometrie für Maschinenbauer, Wien 1947, Nr. 34, Abb. 227 auf S. 175, sowieR. Burmester, Kinematische Flächenerzeugung vermittels zylindrischer Rollung, Zeitschr. Math. Phys. 33 (1889), S. 339, undE. Müller-J. Krames, Vorlesungen über darstellende Geometrie, III. Bd., “Konstruktive Behandlung der Regelflächen”, Leipzig und Wien, 1931, Nr. 35, S. 209 und Nr. 41, Aufgabe 30. Aus obigem Text gewinnt man sogleich auch die Sätze über den geraden kubischen Kreis, die inJ. Krames, Sur une propriété remarquable du cercle cubique droit, Mathésis, Bruxelles, 51 (1937), S. 39–41, abgeleitet wurden.
Man vergleiche hiezu die anschauliche Darstellung des besonderen Flächenbüschels, das in Abb. 4 der mit Fußn. 1 zitierten Arbeit wiedergegeben ist.
Siehe wieder Enzykl. Math. Wissensch. III C 2 (O. Staude), Nr. 92.
Auf anders geartete lineare Büschel von orthogonalen Regelflächen zweiten Grades kommen wir noch in einem anderen Zusammenhang zurück.
Man vergleiche hiemit:J. Krames, Über Parallaxeneigenschaften windschiefer Geraden, Sitzgsber. Akad. Wiss. Wien, mat.-nat. IIa, 156 (1947), S. 219–232, wo diese Eigenschaften erstmalig abgeleitet wurden.
Verschiebt man z. B. das Bündel mit dem Scheitel O' in der Raumrichtung r durch die StreckeP, so geht diese Korrelation genau in jene über, die bereits in “Z E”, Nr. 6, in Betracht gezogen wurde. — Bei dieser Gelegenheit sei noch besonders hervorgehoben, daß die Bezeichnungsweise “konjugierte Strahlen” zweier Bündel von uns immer nur verwendet wird, wenn ∞3 Strahlenpaare in Frage kommen. Sind hingegen ∞2 solche Paare vorhanden, so sprechen wir von “zugeordneten Strahlen”, z. B. wenn sich die Strahlen dieser Paare in den Punkten einer gegebenen Fläche schneiden. Sind schließlich bloß ∞1 Bündelstrahlenpaare in Betracht zu ziehen, so handelt es sich um “entsprechende” Erzeugenden (Geraden) zweier in den Bündeln enthaltener Kegelflächen (Strahlbüschel).
Näheres über die Nebenlösung findet sich in “Z E”, Nr. 4, Satz 2, 3a und Nr. 5, sowie in einigen weiteren Arbeiten des Verfassers, die u. a. später in Fußn. 18 noch aufgezählt werden. — Daß die im Text genannten Punkte × eine orthogonale Regelfläche zweiten Grades erfüllen, bestätigt sich auch sehr einfach aus der Erwägung, daß bei der allgemeinen gegenseitigen Verlagerung der beiden Bündel das mit dem Scheitel O' zuerst der in Fußn. 10 geschilderten Verschiebung unterworfen werden kann, wonach der in “Z E”, Nr. 6, betrachtete Fall herbeigeführt ist.
Siehe “Z E”, Nr. 6, Satz 5 und 5a.
SieheH. v. Helmholtz, Poggendorf. Ann. 123 (1862), S. 158, und “Z E”, Fußn. 20.
Wegen eines Beweises dieses Satzes mittels Tensorrechnung s.J. Krames, Parallaxeneigenschaften zweier Sehstrahlbündel, Sitzgsber. Akad. Wiss. Wien, mat.-nat. IIa, 156 (1947), S. 233–246. Zu auffallend ähnlichen Ergebnissen gelangt man auch, wenn die kleinste auf einer waagrechten Bildebene π meßbare y-Parallaxe zugeordneter Zielstrahlen innerhalb π konstant vorausgesetzt wird. SieheJ. Krames. Über die Flächen konstanter Bildparallaxe und die zugehörigen gefährlichen Raumgebiete, Anzeiger der öst. Ak. Wiss., math.-nat. Kl., 85 (1948), S. 9–14;J. Krames, Über besondere lineare Büschel von Flächen konstanter Bildparallaxe, ebenda, S. 25–31; sowieJ. Krames, Allgemeine lineare Büschel von Flächen konstanter Bildparallaxe, ebenda, S. 39–48.
Daß diese Parallaxeneigenschaft der beiden Bündel gleichzeitig für ∞1 zu ϱ′=ϱ″ parallele Raumrichtungen r zutrifft, steht im Einklang mit einem allgemeinen Satz, den der Verfasser in der mit Fußn. 9 angef. Arbeit (und zwar in Nr. 1, Satz 6) bereits auf anderem Wege abgeleitet hat.
J. Krames, Über die mehrdeutigen orientierungen zweier Sehstrahlbündel und einige Eigenschaften der orthogonalen Regelflächen zweiten Grades, Monatsh. Math. Phys.50 (1941), S. 65–83, insbes. Satz 1 bis 3.
Siehe “Z E”, Nr. 6, Satz 6 und 7.
Es sind dies neben den in Fußn. 1, 2, 9, 14, 16 und 19 genannten Arbeiten folgende:J. Krames, Neue Nebenlösungen einer alten Aufgabe, Anzeiger der Akad. Wiss. Wien, mat.-nat. Kl. 77 (1940), S. 26–30 (der hierin wiedergegebene vorläufige Bericht war bereits am 12. I. 1938 der Akademie zwecks Wahrung der Priorität vorgelegt worden), ferner:J. Krames, Über bemerkenswerte Sonderfälle des “Gefährlichen Ortes” der photogrammetrischen Hauptaufgabe, Monatsh. Math. Phys. 50 (1941), S. 1–13;J. Krames, Der einfachste Übergang zur Nebenlösung bei vorliegendem “gefährlichen Ort”, Monatsh. Math. Phys. 50 (1941), S. 84–100;J. Krames, Über die bei der Hauptaufgabe der Luftphotogrammetrie auftretenden “gefährlichen Flächen”, Bildmessung und Luftbildwesen XVII (1942), S. 1–16;J. Krames, Untersuchungen über “gefährliche Flächen” und “gefährliche Räume” mittels des Äroprojektors “Multiplex”, Österr. Ing.-Archiv, 2 (1948), S. 123–132,J. Krames, Zur Fehlertheorie der gegenseitigen Orientierung zweier Luftaufnahmen, Anzeiger d. Akad. Wien, mat.-nat. Kl. 84 (1947), S. 53–59, undJ. Krames, Die Bedeutung der “gefährlichen Raumgebiete” für das optisch-mechanische Orientieren von Luftaufnahmen, Photograph. Korr. 84 (1948), S. 41–50.
Siehe auchJ. Krames, a. a. O., Österr. Ing.-Archiv 2 (1948), S. 126 f, sowieK. Killian, Über die bei der gegenseitigen Orientierung von Luftbildern vorkommenden gefährlichen Flächen und “gefährlichen Räume”, Photogr. Korrespondenz, Wien, 81 (1945), S. 13–23.
Man vgl. hiezu Fußnote 19 und die Schlußbemerkung in der mit Fußn. 1 zitierten Abhandlung des Verfassers, wonach alle für die Praxis in Frage kommenden “gefährlichen Raumgebiete” nur innerhalb enger Grenzen von den in der genannten Abhandlung besprochenen Sonderfällen verschieden sein können. Für das Studium der mit den Projektorenbewegungen verknüpften “gefährlichen Raumgebiete” (siehe Satz 1 des Textes) fällt jedoch diese Einschränkung weg.
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Mit 6 Abildungen.
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Krames, J. Über allgemeine “gefährliche Raumgebiete” der Luftphotogrammetrie. Monatshefte für Mathematik 52, 265–285 (1948). https://doi.org/10.1007/BF01525333
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