A modification of Erdélyi's asymptotic expansions of Fourier integrals

Contents

Based on Erdélyi's method, theorems with regard to the asymptotic expansion of finite and semi-infinite Fourier integrals are proposed, including sine and cosine transforms. It is shown that the local behavior, under some “higher-order conditions”, off(x) at interval ends suffices to determine the dominant term of its Fourier transform$\hat f(p)$ as |p|→∞. The functionf(x) discussed here, or its derivativef′(x), exhibits integrable algebraic singularity at one interval end or at both ends. Certain application convenience of the proposed theorems is mentioned.

Übersicht

Nach der Erdélyischen Methode werden Sätze über asymptotische Entwicklungen von endlichen und halbunendlichen Fourierintegralen, einschließlich der Sinus- und Cosinustransformierten, aufgestellt. Es wird gezeigt, daß es genügt das lokale Verhalten, unter gewissen “Bedingungen höherer Ordnung”, der Funktionf(x) an den Enden des Integrationsintervalls zu kennen, um das dominante Glied ihrer Fouriertransformierten$\hat f(p)$ für |p|→∞ zu bestimmen. Die hier diskutierte Funktionf(x) bzw. ihre Ableitungf′(x) weist integrierbare algebraische Singularität an einem Ende oder an beiden Enden des Intervalls auf. Die Anwendungsfähigkeit der aufgestellten Sätze wird diskutiert.