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Konstruktion nichtrekursiver Funktionen

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Literatur

  1. D. Hilbert, Über das Unendliche, Math. Annalen95 (1925), S. 161–190. Daselbst erscheint dieser Rekursionsbegriff als Spezialfall (Rekursion erster Stufe) des allgemeinen Rekursionsbegriffes, bei dem nicht nur zahlentheoretische Funktionen (d. h. solche, deren Argumente und Werte natürliche Zahlen sind), sondern auch beliebige höhere Funktionentypen (Funktionsfunktionen, Funktionsfunktions-funktionen usw.) durch Rekursion nach einerZahlenvariablen definiert werden können. Ich beschränke mich in dieser Arbeit auf den einfachsten Funktionentyp, nämlich auf zahlentheoretische Funktionen.

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  2. W. Ackermann, Zum Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen, Math. Annalen99 (1928), S. 118–133.

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  3. R. Péter (Politzer), Über den Zusammenhang der verschiedenen Begriffe der rekursiven Funktion, Math. Annalen110 (1934), S. 612–632. Zitiert im folgenden als „I”.

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  4. Damit ist freilich nicht gemeint, daß diese Funktionen beim axiomatischen Aufbau der Arithmetik das Ausgangselement 0 und die Funktionn+1 vertreten könnten; diese beiden Grundelemente spielen ja auch auf den linken Seiten der Rekursionsgleichungen eine ausgezeichnete Rolle.

  5. Vgl. z. B. G. Pólya und G. Szegö,Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis (1925), Abschnitt VIII, Kap. 2, Aufg. 94. S. 133, ferner Lösung auf S. 342. Dort bedeutet zwarp n die der Größe nachn-te Primzahl (alsop 1=2,p 2=3, ...); der Beweis läßt sich aber ohne weiteres auf die hier verwendete Definition vonp n übertragen.

  6. Der obige Beweis zeigt, wie man ein solohesm zu einer gegebenen rekursiven Funktion α(n, a) wirklich angeben kann. Entsteht die Funktion α(n, a) im Sinne des zu Ende von Nr. 8 ausgesprochenen Satzes durchr Rekursionen (2) unds Substitutionen (3) aus den Ausgangsfunktionen (A′), gelangen dabeip n unda¨' insgesamtt-mal zur Anwendung, so sieht man leicht ein, daßm=r+2s+2t gesetzt werden kann. Daraus folgt durch eine grobe Abschätzung, daß man fürm auch den Index von α(n, a) in der Abzählung (4) nehmen kann.

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Péter, R. Konstruktion nichtrekursiver Funktionen. Math. Ann. 111, 42–60 (1935). https://doi.org/10.1007/BF01472200

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