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Literatur
E. Noether u. W. Schmeidler, Moduln in nichtkommutativen Bereichen. Math. Zeitschr.8 (1920).
Öystein Ore, Formale Theorie der linearen Differentialgleichungen. 1. Teil: Crelle Journal167 (1932). 2. Teil: Crelle Journal168 (1932).
Als Radikal desRinges d wird man das zum Nullideal gehörige Radikal bezeichnen. Dieser Radikalbegriff ist etwas allgemeiner als der von. G. Köthe in der Arbeit: Die Struktur der Ringe, deren Restklassenring nach dem Radikal vollständig reduzibel ist, Math. Zeitschr.32 (1930), S. 169 eingeführte, fällt aber in dem von Köthe betrachtetem Falle mit dem spezielleren zusammen.
Öystein Ore, Formale Theorie der linearen Differentialgleichungen, 2. Teil. Crelle Journal168 (1932), Kap,1, § 4, S. 241–243.
v. d. Waerden, Moderne Algebra — im folgenden mit v. d. W. zitiert —2, § 82, S. 31 und § 83, S. 35.
Derselbe, v. d. Waerden, Moderne Algebra — im folgenden mit v. d. W. zitiert —2, § 86, S. 48 ff.
E. Artin, Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen, Abh. d. Math. Seminars d. Univ. Hamburg5, S. 256.
H. Fitting, Die Theorie der Automorphismenringe Abelscher Gruppen und ihr Analogon bei nichtkommutativen Gruppen, Math. Annalen107 (1932), Satz 11, § 16, Satz13b, § 17.
E. Noether, Idealtheorie in Ringbereichen, Math. Annalen83 (1921), § 8 bzw. § 9.
Dieselbe, a. a. O. [s. Fußnote Math. Annalen83 (1921), § 8, §2 bzw. § 9; oder v. d. W. 2, § 83, S. 36.
Hinsichtlich des Analogons dieses Satzes im Kommutativen vgl. v. d. W.2, § 83, S. 36. Der Beweis des Textes weich auch im Kommutativen vom üblichen ab.
Es ist mir leider nicht gelungen, zu beweisen, daß auchII⊝≠P 0. Wäre es möglich, dies zu zeigen, so ließe sich die Definition des Primärbegriffs wesentlich vereinfachen, indem man fordert, daß alle Nullteiler, nicht nur die rechten eigentlich nilpotent wären.
H. Fitting, a. a. O. Math. Annalen107 (1932), Satz 11, (s. Fußnote 8), § 14, Satz 7.
Im Spezialfall eines kommutativen Ringes gab E. Noether, a. a. O. Math. Annalen83 (1921) § 8 (siehe Fußnote, §4, einen Beweis dieses Satzes, den man z. B. auch in v. d. W. 2 § 83, dargestellt findet.
v. d. W. 2, § 84.
E. Noether, a. a. O. Math. Annalen83 (1921), § 8 (s. Fußnote), § 3 bzw. § 9.
W. Krull, Über verallgemeinerte Abelsche Gruppen. Math. Zeitschr.23 (1925), § 6, S. 186; Otto Schmidt, Unendliche Gruppen mit endlicher Kette, ebenda29 (1929).
Vgl. Zusatz 1 am Schluß der Arbeit.
Ich hebe diese Spezialfälle hervor, weil sie zur Herleitung der bekannten Struktursätze dienen können, die für diejenigen hyperkomplexen Systeme gelten, welche durch einfache algebraische Erweiterung des Zentrums einer einfachen AlgebraA entstehen; man hat hierzu — nach dem Vorbild der kommutativen Körpertheorie — dengewöhnlichen PolynombereichA[x] einzuführen (x mit allena∈A vertauschbar!) und die Struktur der Restklassenringe nach den zweiseitigen Primidealen ≠0 vonA[x] zu untersuchen. Zu weiterführenden Struktursätzen gelangt man, wenn man an Stelle vonA[x] den allgemeineren PolynombereichA[x, S] mit der Multiplikationsregelx·a=a S ·x zugrunde legt, woS irgendennen festen Automorphismus der AlgebraA bedeutet.
E. Noether und W. Schmeidler, a. a. O. [s. Fußnote 1)], Moduln in nichtkommutativen Bereichen. Math. Zeitschr.8 (1920). § 9.
H. Fitting, a. a. O. [siehe Fußnote 8)] Math. Annalen107 (1932), Satz 11.
G. Köthe, a. a. O. [siehe Fußnote 3)].
Vgl. Zusatz 2 am Schluß der Arbeit.
v. d. W.2, § 86, S. 48–50.
Dedekind, Ges. Werke, Bd III, S. 303 ff.
Den Beweis des Satzes 7 verdanke ich Herrn v. d. Waerden.
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Fitting, H. Primärkomponentenzerlegung in nichtkommutativen Ringen. Math. Ann. 111, 19–40 (1935). https://doi.org/10.1007/BF01472198
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01472198