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Über den Gebrauch divergenter Reihen in der Zeit von 1750–1860

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References

  1. Man vgl. etwa die Angaben über das erste Auftreten unendlicher Reihen bei R. Reiff, Geschichte der unendlichen Reihen, Tübingen 1889, S. 17 ff., oder bei M. Cantor, Geschichte der Mathematik 2, S. 53 ff.

  2. Dabei kann eine komplexe Funktion durch eine Reihe reeller Größen dargestellt erscheinen, so daß man in derartigen Entwicklungen nicht etwa Reelles und Imagināres trennen darf (Stein, Gerg. Ann. 15, 1825, S. 154; M. Ohm, Aufsätze aus dem gebiete der höheren Mathematik, Berlin 1823, S. 35).

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  3. Sie findet sich bereits in einem Briefe an Goldbach vom Aug. 1745, corresp. math. phys. de qq. géomètres du 18me siècle, éd. P. H. Fuß, 1, St. Petersb. 1843, S. 324. Veröffentlicht hat sie Euler inst. calc. diff., Laus. 1755, § 111 und sie dann Petrop. n. comm. 5, 1754/55 [60], S. 212, gegen die damals schon gegen den Gebrauch divergenter Reihen erhobenen Einwände (die Vertreter dieser Einwände nennt er nicht) verteidigt; man erkennt aus dieser Verteidigung namentlich, daß schon damals die Berücksichtigung des Restgliedes („mantissa”) und die Diskussion seines Verhaltens fürn=∞ gefordert wurde. Endlich steht die Definition auch noch Petrop. n. comm. 18, 1773[74], S. 30. Was J. A. Chr. Michelsen in den Anmerkungen zu seiner, Tempelhof, Kästner und Kant [in dieser Reihenfolge!] gewidmeten Übersetzung von Eulers Differentialrechnung, 1, Berlin 1790, S. 344 über den Gebrauch divergenter Reihen redet, beruht auf der Annahme, die Regeln +·−=− usw. seien nicht allgemein gültig.

  4. So schon in dem S. 42 unter

  5. erwähnten Brief Eulers.

  6. Petrop. n. comm. 5, S. 202; Inst. calc. diff. 2, § 92 gewinnt er sie umgekehrt durch Differentiation aus (9). Euler teilt die Reihe (8) übrigens schon 1744 ohne Beweis an Goldbach mit, corresp. éd. Fuss, 1, S. 280, in der Form\(0 = \frac{1}{2} + \cos x + \cos 2x + \cos 3x + ...\) in der sie aus der Entwicklung von\(\frac{{1 - r^2 }}{{1 - 2r \cos x + r^2 }}\) nach Potenzen vonr durch die Substitutionr=1 hervorgeht. Sie würde dann das vorstellen, was man jetzt eine „Entwicklung der Null” nennt; in diesem Sinne zieht S. D. Poisson (Bull. Férussac 4, 1825, S. 348) aus ihr den Schluß, daß man eine und dieselbe Funktion auf mehr als eine Art in eine trigonometrische Reihe entwickeln könne, und daß es also nicht zulässig sei, solche Entwicklungen durch die Methode der unbestimmten Koeffizienten gewinnen zu wollen. — Mit einem Ausrufungszeichen versehe ich die Nummern von unrichtigen Gleichungen.

  7. So Petrop. n. comm. 5, S. 190 bei der Ableitung der Entwicklung vony tgx aus der vony und ib. 18, S. 31 bei der Verifikation der Gleichung (7) durch Heraufmultiplizieren; auch inst. calc. integr. 1, Petrop. 1768, § 272. Ebenso auch bei J. Ph. Grüson, Suppl. zu Eulers Differenzialrechnung, Berlin 1798, S. 127.

  8. Traité des différences et des séries, Paris 1800, S. 149; Traité de calc. diff. et int. 3, 2me éd., Paris 1891, S. 160, 619.

  9. Petrop. n. comm. 16, 1771, S. 76; 17, 1772, S. 3; 18, 1773, S. 3. Vgl. namentlich die Formulierung 18, S. 13: „hac operatione metaphysice obtinetur, quod geometrice fieri non potest, perinde ac si sorti res committeretur, quisnam valor ponendus sit”. Er berichtet, er habe das Prinzip schon 40 Jahre vorher bei der Beschäftigung mit rekurrierenden Reihen erkannt. [Die Auffassung solcher Reihen als rekurrierende kommt auf dasselbe hinaus, wie die Auffassung als durch Einsetzen eines Zahlwerts für die Variable entstandene Spezialfälle von Reihenentwicklungen rationaler gebrochener Funktionen.] Er erkennt übrigens schließlich (18, S. 23) selbst: „fieri potest, ut a solo ordine terminorum mutato alia atque alia exoriatur summa, etiamsi quaevis periodus ex iisdem terminis sit composita.”

  10. Vgl. etwa Reiff (S. 169, Note *)), Geschichte der unendlichen Reihen, Tübingen 1889, S. 66.

  11. Er meint selbst (16, S. 80) „mihi quidem principium... fuit per se clarum, simul autem intelligo alios aliter seutire posse; quoniam autem demonstrationem directam principii non video, multiplici inductione argumentum stabiliendum esse censui”.

  12. 16, S. 84: „non excluduntur arculi, excluduntur saltem puncta vere mathematica”. Vgl. auch S. 88 und 17, S. 5. Ebenso Lexell 18, S. 50 und Poisson, j. éc. polyt. cah. 18, 1820, S. 313?

  13. Petrop. n. comm. 18, S. 29: „per rationes metaphysicas... quibus in analysi acquiescere queamus.”

  14. Ib. S. 40. Er bespricht S. 42 ausdrücklich die Ausdehnung des Resultats auf zu π inkommensurable Argumente und glaubt, sie biete keine Schwierigkeit.

  15. Math. Wörterbuch, 2, Leipzig 1805, S. 533.

  16. Tracts on math. and. phys. subjects, 1, Lond. 1812, S. 176. Die unmittelbar sich anschließende Abhandlung, die von der Verwandlung von Reihen, auch von divergenten, in Kettenbrüche handelt, ist von 1780 datiert; da nun nach S. III der Vorrede die Abhandlungen i. allg. in der Reihenfolge ihrer Entstehung geordnet sind, so wird man Huttons Auffassungen, wenn auch vielleicht nicht ihre ausdrückliche Formulierung, ebenfalls so weit zurück zu datieren haben. — Für Reihen, die „an der Grenze von Konvergenz und Divergenz stehen” [er meint: deren Glieder mit wachsendem Index weder ins unendliche ab-, noch ins unendliche zunehmen] schlägt er (S. 178) den Terminus „neutral series” vor, der dann in England eine Zeitlang in Gebrauch geblieben ist.

  17. Tracts on math. and. phys. subjects, 1, Lond. 1812, S. 185.

  18. Vgl. die bei Reiff (S. 169, *)), Geschichte der unendlichen Reihen, Tübingen 1889, S. 121 angeführten Briefstellen.

  19. Taur. misc. 1, 1759; vgl. auch 2, 1760/61 (oeuvres 1, S. 102, 323).

  20. Opuscules math. 1, Paris 1761, S. 70; 4, 1768, S. 133.

  21. Oeuvres 1, S. 323: ≫je ne crois pas qu'aucun géomètre voulût admettre cette conclusion≪.

  22. Mem. soc. ital. 2, 1784, S. 424.

  23. Versuch einer neuen Summationsmethode, Berlin 1788, S. 36.

  24. Dieselbe Auseinandersetzung, ohne daß Lagrange genannt wird, auch bei S. D. Poisson, j. éc. polyt., cah. 19, 1823, S. 428.

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  25. S. 10: „les géomètres doivent savoir gré au cit. Callet d'avoir appelé leur attention sur l'espèce de paradoxe que présentent les séries dont il s'agit et d'avoir cherché à les prémunir contre l'application des raisonnements métaphysiques aux questions qui, n'étant que de pure analyse, ne peuvent être décidées que par les premiers principes et les règles fondamentales du calcul”.

  26. Cauchy spricht sein Bekenntnis in der Vorrede seiner Analyse algébrique (Paris 1821; oeuvres (2) 3, S. II) folgendermaßen aus: „quant aux méthodes, j'ai cherché à leur donner toute la rigueur qu'on exige en géométrie, de manière à ne jamais recourir aux raisons tirées de la généralité de l'algèbre. Les raisons de cette espèce, quoique assez communément admises, surtout dans le passage des séries convergentes aux séries divergentes... ne peuvent être considérées, ce me semble, que comme des inductions propres à faire pressentir quelque fois la vérité... On doit même observer qu'elles tendent à faire attribuer aux formules algébriques une étendue indéfinie, tandis que... la plupart de ces formules subsistent uniquement sous certaines conditions... En déterminant ces conditions... je fais disparaître toute incertitude... II est vrai que, pour rester... fidèle à ces principes, je me suis vu forcer d'admettre plusieurs propositions qui paraîtront peut-être un peu dures au premier abord. Par exemple j'énonce qu'une série divergente n'a pas de somme”. — Übrigens hat Cauchy selbst sich wenigstens in seinen früheren eigenen, der Erweiterung, nicht der Vertiefung der Wissenschaft gewidmeten Untersuchungen des Rechnens mit divergenten, bezw. semikonvergenten Reihen ungescheut bedient; so namentlich in den seiner Preisschrift von 1815 über Wasserwellen beim Druck angehängten Noten (Paris savants étr. 1, 1827; oeuvres (1) 1, z. B. S. 238, 277, 286), aber auch noch bei seinem ersten Versuch, die Entwickelbarkeit einer willkürlichen Funktion in eine trigonometrische Reihe zu beweisen (Paris mém. 6, 1827; oeuvres (1) 2, S. 12). Fourier selbst rechnet übrigens unbedenklich mit divergenten Reihen an mehreren Stellen seiner théorie de la chaleur, Paris 1822 (oeuvres 1, S. 157, 204).

  27. Vgl. die (der gleich nachher erwähnten Diskussion angehörende) Schrift recherches sur l'analyse des sections angulaires, Paris 1825, S. 70: „si l'on veut que la série soit toujours convergente (ce qui est nécessaire à son exactitude)”.

  28. J. f. Math. 1, 1826 (oeuvres 1, S. 219). Vgl. auch die Briefe an Holmboe und an Hansteen aus demselben Jahre, oeuvres 2, S. 256, 263. Der erste dieser Briefe zeigt, daß auch bei Abel die erwähnte Diskussion eingewirkt hat; in dem zweiten fragt Abel, warum das übliche Verfahren so selten auf Paradoxa geführt habe, und gibt als seine Antwort: weil man fast nur Funktionen untersucht habe, die „sich durch Potenzen ausdrücken lassen”.

  29. Einen direkten Nachweis für diese Meinung kann ich nicht erbringen, aber die gesamte Situation scheint mir dafür zu sprechen. Der Eindruck dieser Diskussion auf die Zeitgenossen spricht sich übrigens auch in einer Rezension Kummers (der selbst an ihren Nachklängen noch teilgenommen hat) von dem 1. Teil von M. Ohms Geist der mathematischen Analysis (Berlin 1842) aus, den dieser dann in der Vorrede zum 2. Teil (Erlangen 1846, S. XIV) abdruckt; Kummer vermutet, daß Ohm durch diese Diskussion zu seinen fundamentalen Anschauungen gekommen sei, was Ohm allerdings mit Entschiedenheit ablehnt, da er schon geraume Zeit vorher in ihrem Besitze gewesen sei.

  30. Man müßte denn die Wendung in der Selbstanzeige von 1812 dafür nehmen wollen: „die erstere Erzeugung macht, ihrer Natur nach, die Einschränkung auf die Fälle notwendig, wo die Reihe konvergiert” (Werke 3, S. 198).

  31. 1799 in der Dissertation und 1811 in der Abhandlung über die hypergeometrische Reihe, Werke 3, S. 10, 152.

  32. Ib. 1799 in der Dissertation und 1811 in der Abhandlung über die hypergeometrische Reihe, Werke 3, S. 139.

  33. Ib. 1799 in der Dissertation und 1811 in der Abhandlung über die hypergeometrische Reihe, Werke 3, S. 126.

  34. Ib. 1799 in der Dissertation und 1811 in der Abhandlung über die hypergeometrische Reihe, Werke 3, S. 156.

  35. Ib. 8, 1799 in der Dissertation und 1811 in der Abhandlung über die hypergeometrische Reihe, Werke 3, S. 470. Der betr. Entwurf bricht damit ab; sollte Gauß nachträglich doch nicht damit zufrieden gewesen und dieser Umstand ihm den Abschluß seiner Störungsrechnungen verleidet haben?

  36. Der Geist der math. Analysis, 2, Erlangen 1846, S. VIII.

  37. J. éc. polyt., cah. 19, 1823, S. 484, S. 501; an letzterer Stelle ausdrücklich auch für Funktionen-, nicht bloß für Zahlenreihen.

  38. So zuerst j. éc. polyt., cah. 18, 1820, S. 422, später oft, zuletzt noch théorie de la chaleur, Paris 1835, S. 187.

  39. Phil. mag. (1) 67, 1826, S. 35; (2) 2, 1827, S. 18.

  40. Ib. Phil. mag. (3) 9, 1836, S, 85.

  41. Ib. Phil. mag. (1) 25, 1844, S. 338.

  42. Torino mem. (2) 14, 1854, S. 40 (von 1851).

  43. Torino mem. 2 (14), 1854, S. 53; ebenso 16, 1857, S. 98 ff. (von 1854). An der letzteren Stelle hat er auch die Gleichungen\(\sum\limits_m { \pm m^{2r} = 0} \); er glaubt sie auf anderem Wege als Euler erhalten zu haben, doch weist A. Genocchi (ann. sci. mat. 8, 1857, S. 405), darauf hin, daß auch Planas Ableitung sich an einer andern Stelle bei Euler findet. Genocchi protestiert übrigens gegen den Gebrauch divergenter Reihen.

  44. Treatise on natural philosophy, 1, Cambridge 1896, S. 57, 200.

  45. Vorlesungen über Akustik, Leipz. 1898, S. 113; über Wärmelehre, Leipz. 1903, S. 96. Helmholtz ergänzt allerdings den Poissonschen Beweis durch einen Nachweis der Konvergenz der Reihe (22), für den Fall, daß die zu entwickelnde Funktion differentiierbar ist.

  46. Gergonne ann. 3, 1812, S. 252. — Man könnte hier allerdings noch einwenden, daß ein unzulässiger Übergang vom reellen zum imaginären gemacht wird.

  47. Examples of the processes of diff and integr. calc., Cambr. 1841; in der mir allein zugänglichen 2., von W. Walton besorgten Ausgabe von 1846, S. 247.

  48. Cambr. trans. 82, 1844, S. 198.

  49. Cambr. trans. 43, 1833, S. 375.

  50. In der ersten Form Cambr. trans. 61, 1836, S. 190; in der zweiten differential and integral calculus, Lond. 1836/42 (heftweise als Bestandteil der „library of useful knowledge” erschienen), S. 229.

  51. Cambr. trans. 6, S. 191.

  52. Arch. Math. Phys. 10, 1847, S. 45.

  53. Ib. 14. 1850, S. 146.

  54. Cambr. trans. 43, 1833, S. 375.

  55. The principles of analytical calculation, Cambridge 1803, S. 3.

  56. Daß derartige Beweise für diese Auffassung der Algebra unerläßlich sind, scheint in England zuerst Ph. Kelland mit Nachdruck hervorgehoben zu haben, „lectures on the principles of demonstrative mathematics” (eine in vieler Beziehung, namentlich auch für die Axiomatik der Geometrie, interessante Schrift), Edinb. 1843, S. 110, 112, 115, 118.

  57. Principles, S. 13, 153.

  58. S. 212.

  59. Brit. assoc. rep. 3, f. 1833, S. 189.

  60. S. 206; in weniger präziser Formulierung schon S. 195.

  61. S. 198. Kelland (S. 184 **)), mit Nachdruck hervorgehoben zu haben, „lectures on the principles of demonstrative mathematics” (eine in vieler Beziehung, namentlich auch für die Axiomatik der Geometrie, interessante Schrift), Edinb. 1843, S. 122 zitiert beinahe wörtlich dieselbe Fassung aus Peacocks Algebra (S. 104), die ich nicht gesehen habe.

  62. Das meint er wohl mit der Klausel „when the symbols are general in their form”. — Es entgeht ihm selbstverständlich nicht, daß es Formeln gibt, die nur für ganzzahlige Werte eines in ihnen auftretenden Symbols richtig sind (S. 207 führt er selbst die Gleichung cos (2kπ+x)=cosx als Beispiel an); da aber in verschiedenen Fällen (Gammafunktionen, Differentiation zu beliebigem Index) die zuerst unmöglich scheinende Ausdehnung der Definition auf beliebige Zahlwerte doch gelingt, so scheint er annehmen zu wollen, daß die weitere Entwicklung der Wissenschaft ähnliches auch in noch unzugänglichen Fällen lehren werde, lehnt aber ein näheres Eingehen als augenblicklich zu weit führend ab (S. 224).

  63. S. 205; ausführlicher S. 239. Es entgeht ihm selbstverständlich nicht, daß es Formeln gibt, die nur für ganzzahlige Werte eines in ihnen auftretenden Symbols richtig sind

  64. S. 245. Es entgeht ihm selbstverständlich nicht, daß es Formeln gibt, die nur für ganzzahlige Werte eines in ihnen auftretenden Symbols richtig sind

  65. S. 253. Es entgeht ihm selbstverständlich nicht, daß es Formeln gibt, die nur für ganzzahlige Werte eines in ihnen auftretenden Symbols richtig sind

  66. S. 261. Wenn solche, „limits of continuity” doch in jedem einzelnen Fall erst bestimmt werden müssen, schwindet freilich der ganze Vorteil der angeblichen Allgemeinheit der symbolical algebra; dass er das nicht selbst empfunden hat, ist wohl nur so zu erklären, daß er sich eben doch im wesentlichen nur mit algebraischen Funktionen beschäftigt.

  67. S. 267. Es entgeht ihm selbstverständlich nicht, daß es Formeln gibt, die nur für ganzzahlige Werte eines in ihnen auftretenden Symbols richtig sind

  68. S. 275 Es entgeht ihm selbstverständlich nicht, daß es Formeln gibt, die nur für ganzzahlige Werte eines in ihnen auftretenden Symbols richtig sind

  69. S. 276 Es entgeht ihm selbstverständlich nicht, daß es Formeln gibt, die nur für ganzzahlige Werte eines in ihnen auftretenden Symbols richtig sind

  70. S. 282 Es entgeht ihm selbstverständlich nicht, daß es Formeln gibt, die nur für ganzzahlige Werte eines in ihnen auftretenden Symbols richtig sind

  71. Diff. and. int. calc. (S. 182, Anm. ††)),In der ersten Form Cambr. trans. 61, 1836, S. 566; ähnlich Cambr. trans. 82, 1844, S. 183: „the motto which I should adopt against a course which seems to me calculated to stop the progress of discovery would be contained in a word and a symbol—remember\(\sqrt { - 1} \).”

  72. Diff. and int. calc., S. 223.

  73. S. 575. Diff. and int. calc.

  74. S. 562. Diff. and int. calc.

  75. S. 563. Diff. and int. calc.

  76. S. 607. Diff. and int. calc.

  77. Cambr. trans. 82, 1844, S. 182; Auszug phil. mag. (3) 26, 1845, S. 610. Er meint: „the most determined rejector of all divergent series doubtless makes this use of them [als heuristisches Mittel] in his closet”.

  78. S. 192, 197.

  79. S. 187.

  80. S. 183.

  81. S. 189.

  82. S. 197.

  83. S 186.

  84. S. 185.

  85. ib.

  86. S. 187.

  87. S. 191.

  88. Dubl. proc. 31 (1844/45), S. 27; Auszug Brit. assoc. rep. 14, f. 1844, S. 1.

  89. S. 46. Er fügt übrigens hinzu: bei der Ableitung dieser Reihe aus der logarithmischen müsse man auf die Vieldeutigkeit des Logarithmus komplexen Arguments achten.

  90. Phil. mag. (3) 26, 1845, S. 484.

  91. S. 494.

  92. Cambr. trans. 8 3, S. 256 (von 1844). Das Titelblatt dieses Teils trägt zwar

  93. Phil. mag. (3) 27, 1845, S. 362; einige Ergänzungen 28, 1846, S. 10.

  94. Phil. mag. (3) 27, S. 365; ebenso Cambr. trans. 8, S. 433.

  95. Phil. mag. 27, S. 438.

  96. Phil. mag. 27, S. 441; Cambr. trans. 8, S. 434.

  97. Phil. mag. 28, 1846, S. 136.

  98. Vielleicht ist gerade das der Grund, weshalb die Diskussion so gereizt wird, sodaß die Redaktion des phil. mag. sie schließlich S. 215, nach einigen Bemerkungen Youngs, die nichts Neues beibringen, abbricht. Moon hat übrigens auch in andern Polemiken eine scharfe Feder geführt.

  99. Brit. assoc. rep. 15, f. 1845, S. 1.

  100. Cambr. trans. 83, 1847, S. 429.

  101. S. 439.Cambr. trans. 83, 1847.

  102. S. 433.Cambr. trans. 83, 1847.

  103. Cambr. Dubl. math. j. 3, 1848, S. 108.

  104. Dubl. trans. 21, 1848, S. 124; Voranzeige Dubl. proc. 3, 1847, S. 182 (von 1846).

  105. Quart. j. of math. 3, 1860, S. 2.

  106. Grundriß der allgemeinen Arithmetik oder Analysis, 1. (einz.) Teil. Gött. 1809; S. 130; 2. Aufl. 1830, S. 34. Übrigens finden sich bei ihm, namentlich in der 2. Auflage, an einer Reihe von Stellen mehr oder weniger sorgfältig durchgeführte Konvergenzuntersuchungen. In der 2. Auflage, S. 108, hebt er schärfer als in der 1. hervor, daß man den Rest immer hinzudenken müsse; doch unterläßt er eine Abschätzung desselben als nicht an diese Stelle gehörig.

  107. S. 173, bzw. 97.

  108. S. 220, bzw. 112.

  109. Die mathematische Naturphilosophie, Heidelberg 1822, S. 157. — Mir scheint übrigens O. Schlömilch, der Fries noch persönlich gekannt hat, recht zu haben, wenn er meint (Arch. Math. Phys. 5, 1844, S. 442), Fries habe eigentlich richtig erkannt, daß man nur mit konvergenten Reihen sicher rechnen könne, sei aber durch Eulers sorgloses Verfahren und dadurch, daß man doch auch mit divergenten Reihen nichts wesentlich Falsches herausgebracht habe, stutzig geworden und habe nachträglich nach einem Prinzip gesucht, nach welchem solche Rechnungen erlaubt seien; dieses ganze Argument falle aber weg, wenn man zeigen könne, daß wirklich allerhand Falsches durch solches Rechnen herauskommt. — Übrigens scheint auch Fries bei seinen Auseinandersetzungen nicht an andere Reihen als an gewöhnliche Potenzreihen zu denken.

  110. S. 161, 261.Die mathematische Naturphilosophie, Heidelberg 1822.

  111. S. 162.Die mathematische Naturphilosophie, Heidelberg

  112. Aufsätze aus dem Gebiet der höheren Mathematik, Berlin 1823, S. 33.

  113. Klügels mathematisches Wörterbuch, 4, Leipz. 1823, S. 281, 286; ebenso, unter Berufung auf Mollweide, K. D. v. Münchow, Grundlehren der Trigonometrie, Bonn 1826, S. 235.

  114. Grundlehren der höheren Analysis 1, Berlin 1824, p. 425. Das Beispiel beweist übrigens nichts, wenn man mit Lagrange (Nr. 4) und Barfuß (Nr. 14) jedem Glied eine bestimmte Ordnungszahl gibt und diese im Laufe der Rechnung festhält.

  115. S. 451; 2, S. 635.

  116. Vorlesungen über hohere Mathematik 1, Wien 1827, S. VII, 17.

  117. Versuch einer allgemeinen Theorie der analytischen Fakultäten, Berlin 1823, S. 37, 50.

  118. Aufsätze (S. 170 Anm. *)) S. 37, 39; ebenso noch Versuch eines vollkommen konsequenten Systems der Mathematik, 8, Nürnberg 1851, S. 63.

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  119. Arch. Math. Phys. 3, 1843, S. 304. Er hat übrigens (S. 301) den beim Beweis des Satzes, daß eine Funktion, wenn überhaupt, nur auf eine Weise in eine gewöhnliche Potenzreihe entwickelt werden kann, damals allgemein gemachten Schlußfehler, desen Beseitigung gewöhnlich erst Weierstraß zugeschrieben wird, bereits bemerkt und den Beweis durch eine einwandfreie Grenzbetrachtung richtig gestellt.

  120. Arch. Math. Phys. 1, 1841, Lit. p. 21.

  121. Ib. Arch. Math. Phys. 1, 1841, S. 321.

  122. Ib. Arch. Math. Phys. 1, 1841, 3, 1843, S. 274.

  123. Ib. 4 Arch. Math. Phys. 1, 1841, 1844, S. 228. — Was die Methode der unbestimmten Koeffizienten betrifft, so gibt er zunächst zu (S. 227): „Die Existenz der Reihe muß vor allem erwiesen sein: und dieses können die unbestimmten Koeffizienten nicht leisten”, nimmt aber dieses Zugeständnis später (ib. 7, 1846, S. 31) wieder zurück: „Die frühere Meinung, daß es sich von selbst schon herausstellen werde, ob die Form der Reihe passend gewählt worden sei, ist schlechterdings richtig.”

  124. Ib. Arch. Math. Phys. 1, 1841, 4, S. 232. In der Tat stecken in Schlömilchs Beispielen, die die Unzulässigkeit des Rechnens mit divergenten Reihe nachweisen sollten, derartige andere Fehlschlüsse: Schlömilch hat zwar den Gebrauch divergenter Reihen verworfen, aber —man kann nicht anders sagen als: seltsamerweise — damals und auch noch lange nachher mit divergenten Integralen ebenso naiv operiert, wie nur irgend ein Mathematiker des 18. Jahrhunderts. Barfuß remonstriert nun zwar nicht gegen die divergenten Integrale als solche, wohl aber gegen die Art, wie Schlömilch Umformungen mit ihnen vornimmt; er fragt z. B. S. 234, wenn jener 1/(1−x) durch −1/(x−1) ersetzt: „wird denn hierdurch nicht die Form ganz wesentlich geändert?” Schlömilchs Verteidigung ib. 5, 1844, S. 382 ist unzureichend.

  125. Wie z. B. Pfaff getan hatte, Versuch einer neuen Summationsmethode, Berlin 1788, S. 6.

  126. Arch. Math. Phys. 4, S. 229.

  127. Arch. Math. Phys. 5, 1844, S. 378, 393.

  128. Arch. Math. Phys. 5, 1844, S. 376.

  129. S. 379. S. 397 führt er wirklich ein neues Zeichen ein, fügt aber bei: man könne mit ihm doch nicht rechnen.

  130. Arch. Math. Phys. 5, 1844, S. 394.

  131. Arch. Math. Phys. 5, 1844, S. 395.

  132. Arch. Math. Phys. 5, 1844, S. 399; ebenso S. 440.

  133. S. 162. Er meint übrigens hier, man solle Reihen, deren Summe bestimmt unendlich wird, mit zu den konvergenten rechnen: Der Rest verschwindet hier zwar nicht absolnt, aber doch im Verhältnis zuf(x). Vgl. dazu die ausführlichere Darstellung ib. 8, 1846, S. 391.

  134. 5, S. 438. Sein Gegenbeispiel benutzt freilich auch divergente Integrale; vgl. Barfuß' Kritik ib. 7, 1846, S. 35.

  135. Ib. 7, 1846, S. 7. Von den Gleichungen (57)–(59) zieht er vor, zu schweigen.

  136. Arch. Math. Phys. 5, 1844, S. 10.

  137. Arch. Math. Phys. 5, 1844, ib. 8, 1816, S. 387.

  138. Upsala n. a. 12, 1844, S. 156.

  139. Upsala n. a. 12, 1844, S. 174. Malmsten formuliert das Resultat nicht allgemein, sondern zählt die Einzelfalle auf.

  140. J. f. Math. 41, 1851, S. l. Erst nachträglich (S. 43) versucht er die Resultate such auf trigonometrische Reihen zu übertragen.

  141. J. f. Math. 41, 1851, S. 4, 9.

  142. S. 16, 37, S8. S. 367 bemerkt er das selbst, meint aber, derartige Reihen könnten durch keine endliche Anzahl von analytischen Operationen aus Reihen mit einem Konvergenzintervall hervorgehen.

  143. S. 11. Die von ihm angeführten Beispiele zeigen, daß das Verfahren unter Umständen zu numerischer Rechnung gut verwendbar ist. Vielleicht würde sich eine allgemeine Untersuchung seiner Gültigkeitsbedingungen lohnen.

  144. J. f. Math. 41, 1851, S. 15.

  145. J. f. Math. 41, 1851, S. 24.

  146. J. f. Math. 41, 1851, S. 42.

  147. J. f. Math. 41, 1851, S. 40.

  148. Zeitschr. Math. Phys. 1, 1856, S. 181.

  149. Der Geist der mathematischen Analysis, 1, Berlin 1842, S. 75; 2, Erlangen 1846, S. 23. Er meint 1, S. 85: wenn das Rechnen mit numerischen divergenten Reihen doch zuweilen zu einem richtigen Resultat geführt habe, so liege das daran, daß man gerade so gerechnet habe, wie wenn die einzelnen Reihenglieder noch mit bestimmten Potenzen einer Variabeln multipliziert gewesen wären. — Dann Versuch eines vollkommen konsequenten Systems der Mathematik, 8, Nürnberg 1851, S. 25, 47, 84, 116.

  150. Organon der gesamten transzendenten Analysis, 1. (einz.) Teil, Berlin 1845. Er sagt S. 482 ganz zutreffend: „daß der in Rede stehende Schluß” [von (43) auf (14)] „dem Gesetze der Kontinuität gemäß sci, ist unleugbar; daß auch der in Rede stehende Fall dem Gesetze der Kontinuität unterliege, war es aber, was erwiesen werden mußte, bevor dieses Gesetz zur Vermittelung in Anspruch genommen werden durfte—inzwischen weder erwiesen worden war, noch erwiesen werden konnte”.

  151. Handbuch der algebraischen Analysis, Jena 1845, S. 21, 39. Auch die späteren Auflagen lassen in dieser Beziehung noch zu wünschen übrig.

  152. Handbuch der algebraischen Analysis, Jena 1845, S. XIV, 90.

  153. Handbuch der algebraischen Analysis, Jena 1845, S. 121.

  154. Arch. Math. Phys. 7, 1846, Lit. S. 367. Er bemerkt mit Recht—wie übrigens schon Peacock (S. 187, Anm.***)) zum Zwecke der entgegengesetzten Argumentation—,die „neue” Auffassung bedinge, daß man nach Art der griechischen Geometer alle einzelnen Fälle, die bei einem Satze vorkommen können, unterscheiden müsse; „der Geist der neuen Analysis und der Geist der griechischen Geometer ist...im wesentlichen ein und derselbe”.

  155. Heidelberger Jahrbücher 38, 1845, S. 907.

  156. Arch. Math. Phys. 8, 1846, Lit. S. 431.

  157. Lehrbuch der algebraischen Analysis, Leipz. u. Heidelberg 1860, S. 29.

  158. Lehrbuch der algebraischen Analysis, Leipz. u. Heidelberg 1860, S. 59.

  159. Analytische Trigonometrie, Braunschweig 1770, S. 42.

  160. mem. soc. ital. 7, 1794, S. 21; auch trigonometria piana e sferica, 2dr ed., 1804 (S. 117 der franz. Übersetzung von A. N. Chompré, Paris 1808).

  161. Petersb. mém. 7, 1815/16 [20], S. 123. Übrigens bedient er sich auch der Verifikation durch Ausmultiplizieren.

  162. Traité des fonctions elliptiques 2, 1826, S. 578.

  163. Berl. Abhandl. f. 1827, S. 86.

  164. J. f. Math. 13, 1835, S. 225.

  165. Dubl. proc. 1841/43, S. 235.

  166. Cambridge trans. 85, 1849 (von 1847)=papers 1, S. 240.

  167. Cambridge trans. 85, 1849 S. 245.

  168. Cambr. Dubl. math. j. 7, 1852, S. 98.

  169. J. f. Math. 34, 1847, S. 209.

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  1. München

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Burkhardt, H. Über den Gebrauch divergenter Reihen in der Zeit von 1750–1860. Math. Ann. 70, 169–206 (1911). https://doi.org/10.1007/BF01461156

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