Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zusammenfassung

Ein physikalischer Prozeß (die Änderung eines physikalischen Systems) heißt stochastisch-definit, wenn aus der Kenntnis des ZustandesX 0 des Systems in einem gewissen Zeitmomentt 0 die Kenntnis der Verteilungsfunktion der Wahrscheinlichkeiten für die möglichen ZuständeX des Systems in einem Zeitmomentt>t 0 folgt.

Der verfasser betrachtet systematisch die einfachsten Fälle der stochastischdefiniten Prozesse und in erster Linie solche, die nach der Zeit stetig sind (darin besteht die wesentliche Neuheit der Methode: Bis jetzt betrachtete man gewöhnlich einen stochastischen Prozeß als eine Reihe von diskreten „Ereignissen”).

Wenn die MengeU der möglichen verschiedenen Zustände des Systems endlich ist, so läßt sich der stochastisch-definite Prozeß durch gewöhnliche lineare Differentialgleichungen charakterisieren (Kap. II). Wenn der Zustand des Systems durch einen oder mehrere stetige Parameter definiert ist, so wird der analytische Apparat durch parabolische partielle Differentialgleichungen gegeben (Kap. IV). Man kommt dabei zu verschiedenen Verteilungsfunktionen, unter denen die Laplacesche Normalverteilung als natürlicher einfachster Fall erscheint.

This is a preview of subscription content, access via your institution.

Literaturnachweis

  1. 1)

    Ein wohlbekanntes Beispiel für diese Methode wird dadurch gegeben, daß man in der Beschreibung des Zustandes eines mechanischen Systems nicht nur die Koordinaten seiner Punkte, sondern auch die Komponenten ihrer Geschwindigkeiten einführt.

  2. 2)

    I. Théorie de la spéculation. Ann. de l'École norm.17 (1900), p. 21. II. Les probabilités à plusieurs variables, ibid27 (1910), p. 339. III. Calcul des probabilités 1912.

  3. 3)

    Über diese Begriffe sowie über die additiven Mengensysteme usw. siehe z. B.: M. Fréchet, Sur l'intégrale d'une fonctionnelle étendue à un ensemble abstrait, Bull. de la Soc. Math. de France43 (1915), p. 248.

    Google Scholar 

  4. 4)

    Siehe 2) I. Théorie de la spéculation. Ann. de l'École norm.17 (1900), p. 21.

    Google Scholar 

  5. 5)

    Comptes rendus186 (1928), S. 59, 189, 275.

  6. 6)

    Siehe 5) Comptes rendus186 (1928), S. 59, 189, 275.

  7. 7)

    Vgl. mit den im Kap. IV betrachteten FunktionenF (s, x, t, y), welche fürt=s notwendig Unstetigkeitspunkte besitzen.

  8. 8)

    Man könnte auch umgekehrt (47 a) und (50) a priori voraussetzen und daraus die Stetigkeit und die Differenzierbarkeit vonP i j (s, t) nacht beweisen.

  9. 9)

    Wahrscheinlichkeitstheorie, S. 141 (russ.).

  10. 10)

    Leçons sur l'intégration, 2. Ausg., S. 261.

  11. 11)

    Siehe z. B.: P. Lévy, Calcul des probabilités, S. 187.

  12. 12)

    Math. Zeitschr.15 (1922), S. 211.

  13. 13)

    Siehe Fußnote 2) I und III Théorie de la spéculation. Ann. de l'École norm.17 (1900), p. 21. Calcul des probabilités 1912.

  14. 14)

    Siehe 2) II Les probabilités à plusieurs variables, ibid.27 (1910), p. 339.

Download references

Author information

Affiliations

Authors

Rights and permissions

Reprints and Permissions

About this article

Cite this article

Kolmogoroff, A. Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Math. Ann. 104, 415–458 (1931). https://doi.org/10.1007/BF01457949

Download citation