Mathematische Annalen

, Volume 104, Issue 1, pp 1–70 | Cite as

Topologische Untersuchung der Diskontinuitätsbereiche endlicher Bewegungsgruppen des dreidimensionalen sphärischen Raumes

  • W. Threlfall
  • H. Seifert
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Literatur

  1. 1).
    Die Arbeit ist aus einer Beispielsammlung einer von W. Threlfall an der Technischen Hochschule Dresden gehaltenen Topologievorlesung hervorgegangen.Google Scholar
  2. 2).
    Die reelle Punktmenge der Hypersphäre desR 4, der konforme Raum und der abstrakte dreidimensionale sphärische Raum, der Schauplatz der sphärischen Geometrie, sind isomorph im Sinne von H. Weyl, Philosophie d. Math. u. Naturwiss., Sonderdruck a. d. Handbuch d. Philos. (München 1927), S. 21.Google Scholar
  3. 3).
    Derkomplexe R 4 ist eine offene Punktmenge, deren Punkte sich umkehrbar eindeutig den Quadrupeln komplexer Zahlen (x 1,x 2,x 3,x 4) zuordnen lassen. Derreelle R 4 geht dadurch aus ihm hervor, daß die Punkte, die in einem bestimmten Koordinatensystem reelle Koordinaten haben, als reelle Punkte ausgezeichnet werden.Google Scholar
  4. 4).
    Wir treiben hier nicht algebraische Geometrie und bauen daher nicht die reelle sphärische Geometrie in die komplexe der nichtausgearteten Hyperfläche zweiten Grades ein, sondern stellen die unseren topologischen Bedürfnissen genügenden Tatsachen der reellen sphärischen Geometrie zusammen.Google Scholar
  5. 5).
    Mit Überstreichen wird der Übergang zum konjugiert komplexen Wert bezeichnet.Google Scholar
  6. 6).
    Ein binäres Gebiet wird von Elementen gebildet, die umkehrbar eindeutig den Paaren von Verhältniszahlenk 1 undk 2 zugeordnet sind.k 1 undk 2 durchlaufen unabhängig alle komplexen Zahlen mit Ausnahme des Paares (0, 0). Man nennt ein binäres Gebiet wohl auch Grundgebilde erster Stufe Vgl. E. Study, Über S. Lies Geometrie der Kreise und Kugeln, Math. Annalen86 (1922), S. 44.Google Scholar
  7. 7).
    Es ist für unsere Zwecke nicht erforderlich, diese Tatsache analytisch zu verfolgen und die orthogonalen “Drehmatrizen”G r undG l anzugeben, in die sich jede orthogonale MatrixG zerlegen läßt. Vgl. hierzu E. Steinitz, Polyeder und Raumeinteilungen. Enc. math. Wiss. III1, AB 12 (1916),S. 126.Google Scholar
  8. 8).
    Die punktweise feste Ebene E34 wird von dem ausgezeichneten Vektore und der Drehachsee 3 der starrenR 3-Drehung aufgespannt, E12 liegt in diesemR 3 und steht in ihm senkrecht aufe 3.Google Scholar
  9. 9).
    É. Goursat, Substitutions orthogonales, Ann. Éc. Norm. (3),6 (1890). Diese ergebnisreiche und leicht lesbare Arbeit behandelt nicht eigentlich die orthogonalen Substitutionen, sondern solche, deren Koeffizienten noch mit einem gemeinsamen willkürlichen Faktor behaftet sind, also nicht die sphärischen Bewegungen desR 4, sondern die elliptischen desP 3, nicht die homogenen orthogonalen Substitutionen von vier inhomogenen, sondern von vier homogenen Veränderlichen. Die endlichen Gruppen dieser Substitutionen — mit unseren Paargruppen 1-isomorph — sind mit einer Ausnahme (§ 4 S. 18 Fußnote und § 4 S. 22) vollständig angegeben. — Da es uns auf eine vollständige Ermittlung aller sphärischen Bewegungsgruppen und nicht der elliptischen ankommt, müssen wir uns der langwierigen Aufgabe ihrer Aufzählung unterziehen und können nicht auf die Goursatsche Arbeit verweisen.Google Scholar
  10. 10).
    Vgl. auch G. Vivanti, Fonctions polyédriques (Paris 1910), S. 12.Google Scholar
  11. 11).
    Auch Nebenkomplexe oder Nebengruppen genannt. In der Bezeichnung folgen wir H. Hasse, Höhere Algebra (Sammlung Göschen 1926),I, S. 60.Google Scholar
  12. 12).
    Die hier eingeführten Bezeichnungen werden in der ganzen Arbeit beibehalten.Google Scholar
  13. 14).
    Die inneren Automorphismen bilden bekanntlich einen Normalteiler aller Automorphismen; äußere Automorphismen, die in derselben Restklasse des Normalteilers, liegen, zählen wir als nicht verschiedene äußere Automorphismen.Google Scholar
  14. 15).
    Über Erzeugende und wesentliche Relationen von Gruppen vgl. O. Schreier, Die Untergruppen der freien Gruppen § 2, Abh. Math. Sem. Hamburg5 (1927) und F. Levi, Geometrische Konfigurationen, Leipzig 1929, S. 33. — Die Drehgruppen behandelt als homogene Polyedergruppen R. Fricke, Algebra II (Braunschweig 1926), S. 50.Google Scholar
  15. 16).
    O. Schreier, Über die Erweiterung von Gruppen, Hamb. Sem. Abh.4 (1926).Google Scholar
  16. 17).
    Dieser euklidische Bildraum ist nicht zu verwechseln mit dem in § 3 S. 11 eingefuhrten Bild-R 3, in dem die Drehungen der Paargruppen vor sich gehen.Google Scholar
  17. 18).
    Die nullteilige Einheitskugel gehört dem euklidischenR 3 an; sie hat nicht etwa Punkte mit demK 3 gemein.Google Scholar
  18. 19).
    Die Ebene, die von der 1- und 2-Achse desx 1 x 2 x 3 x 4-Systems aufgespannt wird, wird E12 genannt.Google Scholar
  19. 20).
    Vgl. die Winkelform der orthogonalen Matrix § 1 S. 6.Google Scholar
  20. 21).
    Genauer wird zufolge der Wahl des Koordinatensystems (§ 1 S. 6) von einer Rechtsdrehung des Drehwinkels ϕ der Einheitskreis (der Ebene E12 entsprechend) im positiven Sinne (positivex-Achse auf kürzestem Wege in positivey-Achse) bewegt, diez-Achse (der Ebene E34 entsprechend) ebenfalls im positiven Sinne (wachsendez), von einer Linksdrehung dagegen der Einheitskreis ebenso im positiven Sinne durch +ϕ, diez-Achse aber im positiven Sinne durch −ϕ.Google Scholar
  21. 22).
    Über den hier benutzten kontinuumstopologischen Begriff der Mannigfaltigkeit unterrichtet kurz ein Vortrag von H. Kneser, Topologie der Mannigfaltigkeiten, Jahresber. d. D. Math. Ver.34 (1926), S. 1.Google Scholar
  22. 23).
    SollteP′l 1 ′Q′ oderP′l 2 ′Q′ unendlich viele Punkte mit Bildern von Fixkreisen gemein haben, so kann man die beiden Kurven unter Festhaltung vonP′ undQ′ in zwei andere deformieren, bei denen das nicht mehr der Fall ist. Vgl. hierzu J. W. Alexander, A proof of the invariance of certain constants in Analysis Situs. Trans. Am. Math. Soc.16 (1915), S. 148.Google Scholar
  23. 24).
    Poincaré hat die ZahlP 1=p 1+1 als Bettische Zahl eingeführt. Wir folgen H. Weyl.Google Scholar
  24. 25).
    Über die verschiedenen möglichen Begriffe des Zellsystems vgl. B. L. van der Waerden, Kombinatorische Topologie, Jahresber. d. Deutschen Math. Ver.39 (1930), S. 121. Herr van der Waerden hat uns auch brieflich mit seinem Rate unterstützt.Google Scholar
  25. 26).
    Die Inzidenzmatrizen bestimmen das Zellsystem komplektisch (also erst recht nektisch) eindeutig, wenn keine singularen Elemente darin auftreten, d. h. keine Kanten, die in ihren Anfangspunkt zurucklaufen, keine Elementarflächenstucke, die mehrmals an dieselbe Kante grenzen, und keine Raumstucke, die an beide Seiten desselben Flachenstuckes grenzen. In diesem Falle sind alle Elemente der Inzidenzmatrizen 0 oder ±1. Im andern Falle treten komplektische oder sogar nektische Mehrdeutigkeiten auf.Google Scholar
  26. 27).
    H. Poincaré, Second compl. à l'analysis situs, Proc. London Math. Soc.32 (1901).Google Scholar
  27. 27a).
    H. Weyl, Anál. situs comb., Revista Matem. Hispano-Americana, Toledo 1923.Google Scholar
  28. 27b).
    H. Tietze, Topol. Invarianten mehrdim. Mannigf., Monatsh. f. Math. u. Phys.19 (1908).Google Scholar
  29. 27c).
    Besonders ausfuhrlich: O. Veblen, The Cambridge Colloquium Lectures II, Analysis Situs, New York 1922.Google Scholar
  30. 28).
    Nach H. Tietze, loc cit. 27) Topol. Invarianten mehrdim. Mannigf., Monatsh. f. Math. u. Phys.19 (1908). § 20, mit (m, 1) zu bezeichnen.Google Scholar
  31. 28a).
    M. Dehn, Unendliche diskontinuierliche Gruppen, Math. Annalen71 (1911), S. 129.Google Scholar
  32. 29).
    Vgl. E. Steinitz, Polyeder und Raumeinteilungen, Enc. math. Wiss. III1 A B 12 (1916), S.126; P. H. Schoute, Mehrdim. Geom. II, Leipzig 1905, S. 196.Google Scholar
  33. 30).
    Herrn B. L. van der Waerden war nach mündlicher Mitteilung dieser geschlossene Raum schon früher als der Raum der nichtorientierten Linienelemente der reellen projektiven Ebene bekannt. Vgl. hierzu eine demnächst im Jahresber. d. D. Math. Ver. erscheinende Aufgabe.Google Scholar
  34. 31).
    Zusatz während der Korrektur: Herr H. Kneser hat in seinem Vortrag: Geschlossene Flächen in dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten (Jahresber. d. D. Math. Ver.38 (1929), S. 256, Fußnote) den Dodekaederraum erwähnt. Er hat uns eine gemeinsame Unterteilung des Außenraumes der Kleeblattschlinge und des längs einer KurveC 1 ausgebohrten Dodekaederraumes angegeben und damit die Übereinstimmung des Dodekaederraumes mit M. Dehns Poincaréschem Raum bewiesen.Google Scholar
  35. 32).
    H. Poincaré, Cinquième compl. à l'an. sit., Palermo Rendiconti18 (1904) S. 109.Google Scholar
  36. 33).
    M. Dehn, Topologie des dreidim. Raumes, Math. Annalen69 (1910), S. 160.Google Scholar
  37. 34).
    Jahresber. d. D. Math. Ver.39 (1930), Aufg. 84.Google Scholar
  38. 35).
    Vgl auch M. Dchn und P. Hecgaard, Analysis situs Ene. Math. Wiss. III1 A B 3 S. 187.Google Scholar
  39. 36).
    Den Beweis, daß jedes Element der gewöhnlichen und der binären Ikosaedergruppe Kommutator ist, hat während der Korrektur Herr Max Ziegler in Leipzig dadurch gefuhrt, daß er die Elemente der binären Ikosaedergruppe auf 9 Klassen ähnlicher (= konjugierter) aufteilt und in jeder Klasse einen Kommutator angibt.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1931

Authors and Affiliations

  • W. Threlfall
    • 1
  • H. Seifert
    • 1
  1. 1.Dresden

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