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Vektorielle Begründung der Differentialgeometrie.

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References

  1. Vor allem der „absolute Differentialkalkul” von Ricci und Levi-Civita, Math. Ann. 54, wo weitere Literatur angegeben ist.

  2. Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades, Crelles Journ. 70, 1869.

  3. Ricci und Levi-Citita, l. c. Math. Ann. 54

  4. Vgl. z. B. Knoblauch, Grundlagen der Differentialgeometrie, § 46.

  5. Seine Durchbildung im „absoluten Differentialkalkul” läßt freilich noch recht viel zu wünschen übrig. Das Ansetzen eines nenen Zeigers als Operationszeichen setzt voraus, daß der abzuleitende Tensor durch ein Symbol von der FormAi 1...i m bezeichnet ist. Ist dieser aber selbst durch Addition, Multiplikation oder Faltung entstanden, so trifft diese Voraussetzung nicht zu, wenn nicht für das der Ableitung vorangehende Ergebnis ein Zwischensymbol eingeführt wird. Jedenfalls kann die Sukzession algebraischer und differentieller Operationen auf diese Weise nicht durch ein einheitliches Symbol ausgedrückt werden. Die Analogie des „absoluten” Differentialkalkuls mit dem gemeinen muß in den Rechensymbolen selbst, nicht nur in der Namengebung zum Ausdruck gebracht werden. Was diese betrifft, so ist sie zudem wenig glücklich; vor allem ist es unerfindlich, warum eine ausgesprochenrelative, nämlich auf eine Grundform Σa ik du i du k bezogene Rechnungaart als „absolut” bezeichnet wird. Die elementarsten Grundsätze der Zweckmäßigkeit gebieten doch gerade, diegemeinen Ableitungen im Gegensatz zu den auf eine Grundform bezogenen alsabsolute zu benennen. Vgl. auch Seite 196, erste Fußnote.

  6. Vgl. z. B. Knoblauch, Über den Beweis der Christoffelschen Kovarianz, Sitz. Ber. d. Berl. Math. Ges., Bd. I, Hessenberg, Über die Gleichung der geodätischen Linien, ebenda, sowie: Über die Invarianten linearer und quadratischer binärer Differentialformen usw., Acta Math. Bd. 23. Maschke, A new method of determining the differential parameters and invariants of quadratic differential quantics, Trans. Am. Math. Soc. Vol. I, A symbolic treatment of the theory of invariants of quadratic differential quantics ofn variables, ebenda, Trans. Am. Math. Soc. Vol. IV, sowie das Referat von J. E. Wright, Invariants of quadratic differential forms, Cambridge Tracts in Math. and Math. Phys., No 9.

  7. Die erste Annahme findet sich durchgehends in der ganzen Literatur, die zweite ist unwesentlich. Bereits Ricci und Levi-Civita betrachten l. Math. Ann. 54 c. den „kontravarianten” Tensor mit lauter hochständigen Zeigern, bilden aber seine Ableitung in einer für die noch unüberwundene Einseitigkeit der Auffassung sehr kennzeichnenden Weise, indem sie die Zeiger vor der Bildung der Ableitung senken und nachträglich wieder heben.

  8. Über die Invarianten linearer und quadratischer binärer Differentialformen usw., § 15f., Acta math. Bd. 23.

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Hessenberg, G. Vektorielle Begründung der Differentialgeometrie.. Math. Ann. 78, 187–217 (1917). https://doi.org/10.1007/BF01457097

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