Advertisement

Mathematische Annalen

, Volume 69, Issue 3, pp 289–330 | Cite as

Grundlagen für eine Theorie der unendlichen Matrizen

  • Ernst Hellinger
  • Otto Toeplitz
Article

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Literatur

  1. *).
    Nachr. d. Kgl. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, Math.-phys. Kl., 1906, S. 351–355.Google Scholar
  2. *).
    „Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen” Nachr. d. Kgl. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, Math.-phys. Kl. 1096, S. 157ff., speziell S. 176–182).Google Scholar
  3. **).
    „Sur une classe d'équations fonctionelles”. Acta math. 27 (1903), S. 365 ff.Google Scholar
  4. ***).
    „Grundzüge...”, 1. Mitteil., Nachr. d. Kgl. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, Math.-phys. Kl., 1904, S. 49 ff.Google Scholar
  5. †).
    „Grundzüge...” 5. Mitteil., Nachr. d. Kgl. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, Math.-phys. Kl., 1906, S. 439 ff.Google Scholar
  6. *).
    Vgl. Hurwitz, Math. Ann. Bd. 57, S. 425 ff.; Bd. 59, S. 553.Google Scholar
  7. **).
    F. Riesz, Comptes Rendus de l'acad. des sciences de Paris, t. 144 (1907), S. 615.—E. Fischer, ebenda, Comptes Rendus de l'acad. des sciences de Paris, t. 144 (1907), S. 1022.Google Scholar
  8. *).
    Die Erörterungen des Textes setzen die bekannte Theorie der Doppelreihenkonvergenz (vgl. Encykl. d. math. Wiss. I A 3, 35 (Teil I, S. 97) sowie Édition française I 4, 16 (Vol. 1, S. 249), welcher Begriffe und Namen entlehnt sind,nicht voraus.Google Scholar
  9. *).
    a. a. O. S. 179. Hilbert benutzt daselbst für die Faltung zweier FormenA, B die symbolische SchreibweiseA(x,·) B(·,y); wir benutzen schon an dieser Stelle die der Schreibweise des Matriżenkalküls nachgebildeteAB, von welcher § 6 ausführlich handelt. Die Beweise der Faltungssätze vgl. a. a. O. S. 178–180. Die beiden „Faltungssätze” entsprechen dem Hilfssatz 2, 3 und Hilfssatz 4 bei Hilbert.Google Scholar
  10. *).
    Übrigens ist mit den Formen von konvergenter Doppelquadratsumme die Klasse der Formen mit der in Rede stehenden Eigenschaft nicht erschöpft; vgl. Hilbert, 4. Mitteilung, S. 203 (Satz VI).Google Scholar
  11. *).
    4. Mitteilung S. 200; in der 5. Mitteilung (S. 439) sagt Hilbert dafür schlechtweg „Stetigkeit”, während er die im Text an zweiter Stelle genannte Eigenschaft als „beschränkte Stetigkeit” bezeichnet.Google Scholar
  12. *).
    Vgl. Cayley, Remarques sur la notation des fonctions algébriques, J. f. Math. 50, S. 282; Frobenius, J. f. Math. 84, S. 1.Google Scholar
  13. *).
    Vgl. § 5, Vierte Bemerkung.Google Scholar
  14. *).
    Hilbert gebraucht hierfür in einem etwas anderen Zusammenhange den Ausdruck „Resolvente” (vierte Mitt. S. 160 ff.).Google Scholar
  15. **).
    Vgl. O. Toeplitz, Die Jacobische Transformation der quadratischen Formen von unendlichvielen Veränderlichen, Nachr. d. Kgl. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, Math.-phys. Kl., 1907, S. 101 ff., § 4. — Der formale Charakter dieser Sätze bewirkt es, daß sie und mit ihnen die Problemstellungen des § 8 sich unmittelbar auch auf die finiten, zeilenfiniten etc. Systeme übertragen.Google Scholar
  16. *).
    Wie man diesen von einem solchen Standpunkte aus entwickeln kann, ist in Kroneckers „Vorlesungen über die Theorie der Determinanten”, Band 1 (Leipzig 1903) durchgeführt.Google Scholar
  17. *).
    Die Orthogonalinvarianten quadratischer Formen von unendlichvielen Variabelen. Göttingen 1907.Google Scholar
  18. **).
    Neue Begründung der Theorie quadratischer Formen von unendlichvielen Veränderlichen. Journ. f. Math. 136 (1909), S. 210–271.Google Scholar
  19. ***).
    Vgl. § 5, zweite und dritte Bemerkung.Google Scholar
  20. *).
    An dieser Stelle sind eine Reihe neuer Arbeiten zu erwähnen, welche an sich Integralgleichungen betreffen, aber, auf unendlichviele Veränderliche übertragen, einen Beitrag zur Theorie des Ähnlichkeitsproblemes (IIa) für vollstetige Formen bedeuten würden: J. Plemelj, Zur Theorie der Fredholmschen Funktionalgleichungen, Monatshefte f. Math. u. Phys. 15 (1904) S. 93. E. Goursat, Recherches sur les équations intégrales linéaires, Annales de la faculté des sciences de l'université de Toulouse, 1908, S. 6. I. Schur, Math. Ann. Bd. 66, S. 488 ff., insbesondere 501–510.Google Scholar
  21. **).
    Der erste, der eine systematische Theorie einer gewissen Klasse linearer, unendlicher Gleichungssysteme von einiger Allgemeinheit gegeben hat, ist Helge von Koch (Sur les déterminants infinis et les équations différentielles linéaires, Acta Math. 16 (1892), S. 217 ff.—insbesondere S. 245–249). Seine Auflösungsformeln, die sich aus unendlichen Determinanten aufbauen, kann man kurz durch die Bemerkung beschreiben, daß sie, auf Integralgleichungen überschrieben, in die Formeln von Fredholm übergehen. Übrigens hat Helge von Koch neuerdings (Sur la convergence des déterminants infinis, Rend. del Circ. Mat. di Palermo, 28 (2. Sem. 1909), S. 255 ff.) unter Ausdehnung seiner früheren Konvergenzeinschränkungen seine Methoden auf die Forderung konvergenter Quadratsumme und auf eine wesentlich umfassendere Teilklasse der vollstetigen Formen angewandt.Google Scholar
  22. ***).
    Über die Auflösung linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten, Rend. del. Circ. Mat. di Palermo, 25, 1. Semestre 1908, S. 53–77.Google Scholar
  23. †).
    Die Jacobische Transformation der quadratischen Formen von unendlichvielen Veränderlichen, Nachr. d. Kgl. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, Math.-phys. Kl., 1907, S. 101–109.Google Scholar
  24. ††).
    Über die Auflösung linearer Gleichungen mit unendlichvielen Unbekannten, Sitzungsber. d. phys.-med. Soc. in Erlangen, Bd. 40 (1908), S. 84.Google Scholar
  25. *).
    Vgl. § 1, Konvergenzsats über Linearformen.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1910

Authors and Affiliations

  • Ernst Hellinger
    • 1
  • Otto Toeplitz
    • 2
  1. 1.Marburg a. d. L.
  2. 2.Göttingen

Personalised recommendations