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Über die Singularitäten der reellen ebenen Kurven

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Literatur

  1. Vgl. E. Heine, J. f. Math. 74 (1872), S. 182, wo dies als Satz ausgesprochen ist.

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  2. J. Hjelmslev, Overs. ov. Kgl. Danske Vidensk. Selsk. Forhandl. 1911, Nr. 5, S. 486.

  3. P. du Bois-Reymond und A. Harnack bezeichnen bei reellen Funktionen als „mittleren Differentialquotienten”, was hier Richtung d. Grenzsekante genannt wird, vgl. Math. Ann. 16, S. 220 bzw. 23, S. 255.

  4. C. Juel, Kgl. Danske Vidensk. Selsk. Skrift, (6) X, Nr. 1 (1899), S. 9, 89 u. 77.

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  5. So bei J. Hjelmslev, a. a. O., Overs. ov. Kgl. Danske Vidensk. Selsk. Forhandl. 1911, Nr. 5, S. 469–470 genannt.

  6. a. a. O., So bei J. Hjelmslev, Overs. ov. Kgl. Danske Vidensk. Selsk. Forhandl. 1911, Nr. 5, S. 486.

  7. Auch diese Definition b) bezieht sich nur auf im Endlichen gelegene Kurvenpunkte; wir wollen sagen, ein im Unendlichen gelegener KurvenpunktW ∞(t) sei ein Wendepunkt nach Definition b), wenn sichW ∞(t) durch eine projektive Transformation in einen PunktW' (t) verwandeln läßt, welcher der Definition b) genügt. (Vgl. auch Nr. 11 u. 14.)

  8. In meiner Hab.-Schr. S. 13 ist ein weiteres Beispiel angegeben, bei dem auf dem vorderen und hinteren Kurvenzug vonW t die Tangente (ohne Berücksichtigung des Vorzeichens der Richtung) monoton variiert, und das durch geringfügige Änderung in einen Wendepunkt übergeht, der gleichzeitig Gattung a) und b) angehört.

  9. Kann man jeden PunktP der linearen PunktmengeE so mit einer Intervallfolge {δ (i) P } umgeben, daß kein zuE nicht gehörender Punkt existiert, der für jedesi innerer Punkt mindestens eines derE zugeordneten Intervalle ist, so wird (nach W. H. Young)E eineinnere Grenzmenge genannt. Über den Begriff und die Eigenschaften derinneren Grenzmengen siehe: W. H. Young, Leipz. Ber. 55 (1903), S. 287 und Proc. Lond. Math. Soc. (2) 1 (1904), S. 262; W. H. u. G. C. Young, The theory of sets of points, Cambridge 1906, S. 63/75; ferner E. W. Hobson, The theory of functions of a real variable, Cambridge 1907, S. 127/135. Insbesondere sei an die Haupteigenschaft erinnert, daß nämlich die inneren Grenzmengen entwederendlich oderabzählbar oder vonMächtigkeit des Kontinuums sind; letzteres nur, wenn die Menge einen in sich dichten Bestandteil enthält. W. H. u. G. C. Young, l. c., bezeichnen, was in den früheren Abhandlungen und bei E. W. Hobson „inner limiting set” genannt ist, mit „ordinary inner limiting set”, hier wird immer einfach, „innere Grenzmenge” gesagt. A. Schoenflies hat die inneren Grenzmengen und ihre KomplementärmengenBorelsche Mengen genannt; vgl. Bericht über Mengenlehre, Jahresber. d. Dtsch. Math.-Ver. 8 (1899), S. 110 und Ergänzungsband II (1908), S. 80/83.

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  10. W. H. u. G. C. Young, The theory of sets of points, Cambridge 1906, S. 72, Theorem 37 a.

  11. ibid., W. H. u. G. C. Young, The theory of sets of points, Cambridge 1906, S. 75, Cor.

  12. Der Beweis ist überaus einfach; vgl. meine Hab.-Schr. S. 23.

  13. Mit Hilfe des Theorems 41 von W. H. u. G. C. Young (a. a. O., The theory of sets of points, Cambridge 1906, S. 74) W. H. u. G. C. Young, The theory of sets of points, Cambridge 1906, folgt noch weiter: Jedes Aggregat von gewöhnlichen äußeren und inneren Grenzmengen besitzt endliche, abzählbare oder Kontinuumsmächtigkeit.

  14. Vgl. meine Hab.-Schrift S. 24/25.

  15. Ein Gegenbeispiel ist in meiner Hab.-Schrift S. 25 angegeben.

  16. Vgl. L. Zoretti, J. de Math. (6) 1 (1905) S. 8.

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  17. Schriften d. phys. ökon. Ges. zu Königsberg, 41 (1900), S. [13], und Bericht über Mengenlehre I, Jahresb. d. deutsch. Math.-Ver. 8 (1899), S. 157–159.

  18. B. Levi, Rend. Accad. Lincei (5) 15 (1906), S. 437.

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  19. Fürkonvexe Funktionen hat F. Bernstein einen anderen sehr einfachen Beweis dieses Satzes gegeben, Math. Ann. 64 (1907), S. 425/6.

  20. R. Baire, Ann. di Math. (3) 3 (1899), S. 65. Die Punktmengen, die sich aus höchstens abzählbarvielen nirgends dichten Mengen zusammensetzen, heißen Mengen erster Kategorie; alle anderen heißen Mengen zweiter Kategorie.

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  21. D. Pompeiu, Math. Ann. 63 (1907) S. 326; ein weiteres derartiges Beispiel hat H. A. Schwarz, Sitzb. Berliner Akademie 1910, S. 592 angegeben und R. Remak, J. f. Math. 141 (1912), S. 77 hat dasselbe eingehend behandelt.

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  22. T. Brodén, Acta Univ. Lund, 33, (1897), S. 31; A. Schoenflies, Bericht über Mengenlehre I, Jahresb. d. Deutschen Math.-Ver. 8 (1899), p. 148/9.

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  23. W. H. Young, Arkiv för Mat., Astr. och Fys. 1 (1903/4), S. 201.

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  24. Vgl. Enzyklopädie II A 1 (A. Pringsheim) S. 43 Fußnote 228, wo Beispiele für solche Kurvenbögen angegeben sind.

  25. Der Satz giltnicht mehr für dieGesamtheit aller Ecken (ohne Beschränkung der Größe), wie sich schon aus dem Riemannschen Beispiel einer nicht überall differenzierbaren Funktion ergibt. Daß selbst beikonvexen Funktionen die Gesamtmenge der Ecken überall dicht sein kann, haben J. L. W. V. Jensen, Acta Math. 80 (1906), S. 191 und F. Bernstein, Archiv Math. Ph. (3) 12 (1907), S. 285/6, durch Beispiele gezeigt.

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  26. A. Köpcke, Math. Ann. 34, S. 161 und 35, S. 104. Die Köpckesche Kurve besitzt also eine überall dichte Menge zweiter Kategorie von Stellen, deren Tangenten parallel derx-Achse sind.

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  29. J. Hjelmslev,a. a. O., S. 482, théorème 25.

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  30. Einen nur aus gewöhnlichen differenzierbaren Punkten bestehenden Kurvenbogen ohne mehrfache Punkte nennt J. Hjelmslev(a. a. O., S. 446/9) „arc ordinaire”.

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  31. a. a. O., S. 491, théorème 32.

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  32. a. a. O., S. 493/4.

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  33. A. F. Möbius, Leipz. Ber. 2 (1848), S. 179/182=Ges. Werke II, S. 183/187; genauere Beweise dieses Möbiusschen Satzes bei A. Kneser, Math. Ann. 41 (1893), S. 353/362 und J. Hjelmslev, a. a. O.

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  1. München

    Artur Rosenthal

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  1. Artur Rosenthal
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Mit dieser Abhandlung hat sich der Verfasser im Juli 1912 an der Münchener Universität habilitiert. Im vorliegenden Abdruck sind einige geringfügige Kürzungen vorgenommen worden (insbesondere in Nr. 11, 21, 22), wogegen der Anfang von Nr. 40 etwas ausführlicher dargestellt ist.

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Rosenthal, A. Über die Singularitäten der reellen ebenen Kurven. Math. Ann. 73, 480–521 (1913). https://doi.org/10.1007/BF01455954

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