Der Überlagerungsradius gewisser algebraischer Kurven und die Werte der Betafunktion an rationalen Stellen

Zusammenfassung

Für abelsche Varietäten mit komplexer Multiplikation wird die Dimension des

berechnet, der von den Perioden erster und zweiter Art erzeugt wird. Angewandt auf die Jacobi-Varietät der Fermat-Kurven, ergibt dieses Resultat zusammen mit den Kriterien von Shimura-Taniyama und Deligne-Koblitz-Ogus einen optimalen Satz über die lineare Unabhängigkeit der WerteB(a ₁,b ₁),...,B(a _n ,b _n ) der Betafunktion an rationalen Stellena _j ,b _j : Sie sind nur in dem offensichtlichen Fall

-linear unabhängig, wenn diese Abhängigkeit bereits aus den klassischen Gauß-Legendre-Identitäten für die Werte der Γ-Funktion folgt.

Dieser Satz gibt widerum eine Teilantwort auf eine Transzendenzfrage, die S. Lang für die Uniformisierungtheorie aufgeworfen hat: SeiX eine glatte projektive algebraische Kurve, definiert über

und vom Geschlechtg>1, und sei

$$\varphi :U_r : = \{ \zeta \in \left. \mathbb{C} \right|\left| \zeta \right|< r\} \to X$$

Eine normalisierte holomorphe Überlagerungsabbildung, d.h. mitϕ(0)∈X(

) und mit einer über

definierten Tangentialabbildungϕ′(0); ist dann der „Überlagerungsradius”r transzendent? Die Antwort ist „ja”, wennX viele Automorphismen besitzt-z. B. für Fermat-Kurven oder die Kleinsche Quadrikund wenn ϕ(0) Fixpunkt ist, denn in diesem Fall läßt sich der Überlagerungsradius als Quotient von

-linear unabhängigen Betawerten schreiben.