Jacques Herbrand, geboren am 12. Februar 1908 in Paris, verunglückte tödlich am 27. Juli 1931 bei einer Bergbesteigung in den französischen Alpen.
Eine der stärksten mathematischen Begabungen ist mit ihm dahingegangen, mitten aus intensivster Arbeit heraus, voller Ideen für die Zukunft. Das letzte Jahr seines Lebens, das er als Rockefeller-Stipendiat in Deutschland verbrachte, hat ihn mit einer Reihe deutscher Mathematiker wissenschaftlich und menschlich eng verbunden.
Von dem in der vorliegenden Arbeit angezeigten zweiten Teil haben sich die Konzepte noch gefunden, so daß eine Publikation möglich sein wird. Ein Überblick über die beiden Teile ist enthalten in einer noch von Herbrand selbst redigierten Note: Sur la théorie des corps de nombres de degré infini, C. R., 14 sept. 1931,193, S. 504. E. Noether.
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References
Le travail de Deuring paraîtra prochainement dans les Math. Annalen. [Verzweigungstheorie bewerteter Körper, Math. Annalen105 (1931), p. 277–307.] Pour la théorie des groupes de décomposition et d'inertie, voir aussi Krull, Galoissche Theorie bewerteter Körper, Sitzber. der Bayer. Akad. 1930, p. 225.
Nous dirons que l'idéala est un diviseur de l'idéalb, si tout nombre deb est dansa; il ne résulte pas de là en général qu'il y a un idéal entierc tel queac=b. Les notions de P. P. C. M. et de P. G. C. D. devront s'entendre dans ce sens.
Il était naturel dans ce mémoire où nous considérons presque exclusivement des idéaux premiers ou primaires, de ne parler en général que d'idéaux entiers. Dans deux cas que nous indiquons, les résultats restent vrais pour des idéaux non entiers. Il n'y a qu'au § 10 que nous devrons introduire explicitement un idéal non entier.
Un idéal primaire (ou premier) fini n'est donc pas en général un idéal engendré par des éléments d'un corps fini. Il n'en est ainsi que dans le «Maximalordnung» correspondant.
Voir note 2) Il était naturel dans ce mémoire où nous considérons presque exclusivement des idéaux premiers ou primaires, de ne parler en général que d'idéaux entiers. Dans deux cas que nous indiquons, les résultats restent vrais pour des idéaux non entiers. Il n'y a qu'an § 10 que nous devrons introduire explicitement un idéal non entier.
Comparer Steinitz, Algebraische Theorie der Körper, Journal f. r. und ang. Math.137, p. 250. Nos nombres idéaux ne sont autres que les «G-Zahlen» de Steinitz.
Cf. Steinitz, loc. cit. (note 5), Algebraische Theorie der Körper, Journal f. r. und ang. Math.137, p. 250.
Remarquons à cette occasion que le théorème fondamental de Krull (K II), sur la semi-continuité supérieure des valeurs des composantes primaires d'un idéal, n'est autre chose que ce théorème de Baire, et sa réciproque. Supposons quea soit la limite des idéauxa i desk i . Les valeurs des composantes primaires desa i forment une fonction continue (dans l'ensemble des idéaux premiers), qui décroît aveci, et tend vers la valeur dea.
Nous nous permettons d'employer ici ce lemme de théorie des corps finis, qui ne sera démontré que plus tard.
Voir Baire, Sur les fonctions de variables réelles, Ann. di Mat. 1899.
II était intéressant de tirer ce théorème du théorème 15. mais il est encore plus simple de le démontrer directement avec le lemme 4 du § 10.
Voir par exemple Hasse, Reziprozitätsgesetz, Jahresber. d. D. Math.-Ver., Ergänzungsband VI, p. 9.
Ce lemme précise beaucoup le théorème 5 de notre travail: Sur la théorie des groupes de décomposition, d'inertie et de ramification, Journal de Liouville, 1932, p. 481.
Voir par example Speiser, Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, p. 64.
Comparer au th. IV du travail cité dans la note Ce lemme précise beaucoup le théorème 5 de notre travail: Sur la théorie des groupes de décomposition, d'inertie et de ramification, Journal de Liouville, 1932, p. 481.
loc. cit. note Ce lemme précise beaucoup le théorème 5 de notre travail: Sur la théorie des groupes de décomposition, d'inertie et de ramification, Journal de Liouville, 1932, p. 481.
Nous disons ici «groupes égaux» au lieu de «groupes isomorphes».
et différents en outre de tout corps qui peut être transformé en celui-là par un automorphisme. Cela sera toujours sous-entendu.
Hasse, Zwei Existenztheoreme über algebraische Zahlkörper, Math. Annalen95, p. 229.
Ce théorème est la généralisation aux corps infinis du théorème 3 du travail cité dans la note Ce lemme précise beaucoup le théorème 5 de notre travail: Sur la théorie des groupes de décomposition, d'inertie et de ramification, Journal de Liouville, 1932, p. 481. La démonstration est d'ailleurs dans son essence la même dans les deux cas.
Tout élément deG (ι) g peut être en effet mis indifféremment sous les deux formes αβ et βα (α étant un, élément deG (ι), β un élément deg).
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Herbrand, J. Théorie arithmétique des corps de nombres de degré infini. Math. Ann. 106, 473–501 (1932). https://doi.org/10.1007/BF01455897
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01455897