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References
Vgl. etwa F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre, 1. Aufl., Leipzig 1914, S. 318.
Ein metrischer RaumR wird vollständig genannt, wenn in ihm das Cauchysche Konvergenzkriterium gilt, d. h. wenn jede Fundamentalfolge inR einen Grenzwert besitzt.
Separabel heißt jeder Raum, in dem eine abzählbare Menge dicht liegt.
Fur die nähere Ausfuhrung vgl. § 1 der vorliegenden Note.
Vgl. etwa K. Menger, Bericht uber die Dimensionstheorie, Jahresber. d. D. Math. Vereinig.35 (1926), S. 131.
Hier ist gegenuber dem zu Anfang angegebenen Cantorschen Satz die Voraussetzung, daß der Raum insichdicht sei, fortgefallen. Doch ist I für einen Raum mit einem isolierten Punkt trivial, da dann die kleinste Dichte gleich 1 ist.
Vgl. loc. cit.1), Vgl. etwa F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre, 1. Aufl., Leipzig 1914, S. 128.
Für ein endliches a, d. h. für a=1, ist dies trivial, denn man braucht nur einen Raum mit einem isolierten Punkt zu nehmen. Für unendlichesa vgl. § 3 (Schluß) der vorliegenden Note.
Man sagt, eine Punktmenge liege inR nirgendsdicht, wenn das Komplement ihrer abgeschlossenen Hülle inR dicht ist.
Zu den verschiedenen möglichen Abstufungen des Homogenitätsbegriffes vgl. D. van Dantzig, Über topologisch homogene Kontinua, Fund. Math.14 (1930), S. 102–125.
Dieser Begriff der metrischen Gruppe ist einfach die Übertragung des bei D. van Dantzig angegebenen Begriffs der topologischen Gruppe ins Metrische. Vgl. loc. cit.10), Vgl. etwa F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre, 1. Aufl., Leipzig 1914, S. 110, wo auch auf die Beziehung zu dem von O. Schreier eingeführten Begriff der Limesgruppe eingegangen ist. Dagegen ist der bei van Dantzig zugrunde liegende Begriff der metrischen Gruppe enger als der hier verwandte. Völlig andersartig ist die Definition der von K. Menger (Math. Annalen103 (1931)) betrachteten metrischen Gruppen, die uberhaupt keine metrischen Räume im Hausdorffschen Sinne mehr darstellen.
J. Kürschák, Über Limesbildung und allgemeine Körpertheorie, Journ. f. d. r. u. a. Math.142 (1913), S. 211–253. Vgl. auch § 3 der vorliegenden Note.
Diese Tatsache bildet ein (übrigens triviales) Analogon zu dem bekannten Satz von O. Schreier, wonach sich eine zusammenhängende topologische Gruppe aus einer beliebigen Umgebung des Einheitselementes erzeugen läßt. Hervorzuheben ist jedoch, daß ein beliebiger insichdichter metrischer Integritätsbereich, keineswegs zusammenhängend zu sein braucht, wie bereits das Beispiel des durch die Primzahlp bewerteten Körpers der rationalen Zahlen zeigt.
Hier kann die Voraussetzung, daß der Integritätsbereich insichdicht sei, nicht fortgelassen werden. Der Satz gilt fur einen vollständigen, aber nicht insichdichten Integritätsbereich im allgemeinen nicht.
F. K. Schmidt, Mehrfach perfekte Körper. Vgl. Jahresb. d. D. Math. Ver.40, S. 31.
Vgl. dazu auch O. Haupt, Über die Struktur reeller Kurven, Journ. f. d. r. u. a. Math.164 (1931), S. 52.
Ich sage, die Funktiong(P) besitzt inP=P 0 ein relatives Minimum, wenng(P) für alle Punkte einer gewissen UmgebungU 0 vonP 0 mindestens gleichg(P 0) ist.
Vgl. K. Menger, Dimensionstheorie, Leipzig 1928, S. 39.
Unter einem Stück der MengeM versteht man die inM abgeschlossene Hülle einer inM offenen Menge. Vgl. loc. cit. K. Menger, Dimensionstheorie, Leipzig 1928, S. 30.
→lies: „konvergiert gegen”.
Die im Text angegebene Begründung dieses Satzes ist dem Beweis des in der Einleitung erwähnten Cantorschen Satzes nachgebildet. Vgl. loc. cit.1) Vgl. etwa F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre, 1. Aufl., Leipzig 1914.
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Herrn Geheimrat Heffter zum 70. Geburtstag gewidmet
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Schmidt, F.K. Über die Dichte metrischer Räume. Math. Ann. 106, 457–472 (1932). https://doi.org/10.1007/BF01455896
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