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Mathematische Annalen

, Volume 106, Issue 1, pp 369–394 | Cite as

Über Funktionen mit positivem Realteil

  • W. Cauer
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References

  1. 1).
    Vgl. dazu Math. Annalen105 (1931), S. 86–132, „Untersuchungen über ein Problem, das drei positiv definite quadratische Formen mit Streckenkomplexen in Beziehung setzt”, weiterhin kurz als „QFS” zitiert. Um die vorliegende Arbeit von QFS unabhängig lesbar zu machen, wurden die erforderlichen Erläuterungen über Zuordnungen von quadratischen Formen und Streckenkomplexen in § 2 in gekürzter Form zusammengestellt.Google Scholar
  2. 2).
    Wir wollen voraussetzen daß wenigstens für einen Punkt der rechten λ-Halbebene der Realteil vonA positiv definit ist. Hinreichend dafür ist, daß wenigstens eine der drei FormenL, R, D positiv definit ist.Google Scholar
  3. 3).
    L repräsentiert die Induktivitäten,R die Ohmschen Widerstände,D die reziproken Kapazitäten von geschlossenen Stromkreisen einer Schaltung.Google Scholar
  4. 4).
    „Darstellung” in dieser Arbeit ist identisch mit „Darstellung im weiteren Sinne” in QFS.Google Scholar
  5. 5).
    Eine solche darstellbare Matrix von Funktionen repräsentiert physikalisch die Frequenzcharakteristiken eines „2q-Pols”.Google Scholar
  6. 6).
    Elektrotechnisch: Zweipol (Wechselstromwiderstand).Google Scholar
  7. 7a).
    Genaues Zitat s. S. 385, Anm. 26b).Google Scholar
  8. 8).
    Elektrotechnisch: Vierpol.Google Scholar
  9. 9).
    Elektrotechnisch: Symmetrischer Vierpol.Google Scholar
  10. 10).
    „Über die Variabeln eines passiven Vierpols”, Sitzungsber. der Preußischen Akademie der Wiss., Dez. 1927.Google Scholar
  11. 11).
    Vgl. Zeitschr. f. angew. Math. u. Mechanik, Okt. 1930, „Die Siebschaltungen der Fernmeldetechnik”; die in Buchform als Forschungsheft des V.D.I. mit Unterstützung des Elektrotechnischen Vereins herausgegebene Arbeit „Siebschaltungen”, sowie eine in „Physics” erscheinende Arbeit „New theory and design of wave filters”.Google Scholar
  12. 12).
    Elektrotechnisch: Ein Zweipol oder symmetrischer Vierpol von numerisch oder graphisch gegebener Frequenzabhängigkeit soll konstruiert werden.Google Scholar
  13. 13).
    Math. Annalen77, S. 7, „Über die Beschränkungen analytischer Funktionen, welche durch vorgegebene Funktionswerte bedingt werden”. Ich bin Herrn G. Herglotz für den Hinweis auf diese Arbeit zu besonderem Dank verpflichtet.Google Scholar
  14. 14).
    S. Jahresberichte der Deutschen Mathematikervereinigung 1929, S. 63, „Über eine Klasse von Funktionen, die die Stieltjesschen Kettenbrüche als Sonderfall enthält”.Google Scholar
  15. 15).
    Daß eine „Fundamentaldeterminante”A, nur Nullstellen in der linken Halbebene hat, wurde von Routh, „Die Dynamik der Systeme starrer Körper”, Bd. II, Kap. VII, Teubner 1898, bewiesen. Vgl. auch Sitzungsber. d. Berl. Math. Ges.,27, S. 25, „Ein Satz über zwei zusammenhängende Hurwitzsche Polynome”. Daß jede komplexe Nullstelle einer Fundamentaldeterminante negativ reellen Teil besitzt, besagt physikalisch die einleuchtende Tatsache, daß in einem schwingungsfähigen System mit Energieverzehrung jede freie Schwingung abklingen muß. Der Realteil einer positiven Funktion (eines Wechselstromwiderstandes) ist für rein imaginäre λ=iω proportional zum mittleren Energieverbrauch des Systems, wenn es sinusförmige erzwungene Schwingungen von der Kreisfrequenz ω ausführt.Google Scholar
  16. 16).
    Ein Querstrich bezeichnet den konjugiert komplexen Wert.Google Scholar
  17. 17).
    Vgl. hierzu auch den Abschnitt II in QFS.Google Scholar
  18. 18).
    Etwas abweichend von der üblichen Definition eines „Baumes”.Google Scholar
  19. 19).
    Für die Zwecke dieser Arbeit genügt es, diese quadratischen Formen als Quadratsummen vorauszusetzen. Allgemeinere Zuordnungen von quadratischen Formen zu Streckenkomplexen sind in QFS behandelt.Google Scholar
  20. 20).
    Dieser Begriff „Darstellung in einem Streckenkomplex” deckt sich nur teilweise mit der „Darstellung im engeren Sinne” von QFS.Google Scholar
  21. 20a).
    Dieser Satz findet sich in anderer Form bei G. Kirchhoff, Pogg. Annalen 72 (1847).Google Scholar
  22. 21).
    Der Beweis kann durch Umformung der Determinanten vonC (5) geführt werden. Ein natürlicherer Beweis des Hilfssatzes 5 ergibt sich durch Einführung von neuen Variabeln, die den Knotenpunkten zugeordnet sind und den elektrischen Potentialen entsprechen, so wie diex′ den elektrischen Strömen entsprechen.Google Scholar
  23. 22).
    Von den in QFS benutzten Begriffen „Reihen” und „Parallelverkürzung” und „einfacher Zweipol” bilden die hier eingeführten gleichnamigen Begriffe einen Spezialfall, da „Verknüpfungselemente” in dieser Arbeit nicht in Betracht gezogen werden.Google Scholar
  24. 23).
    Um den folgenden Schluß zu machen, genügt schon die Voraussetzung, daß der Restteil nur in einem Intervall der imaginären Achse rein imaginär ist.Google Scholar
  25. 24).
    Dieses ist der komplizierteste Fall. Ist z. B.a 0 odera 4, oder sind beide gleich 0, so ist der im folgenden Beweis vorgenommene Reduktionsprozeß in vereinfachter Form anwendbar. Im Falla 0=0 wird aus der Ellipse Fig. 2 eine Parabel. Enthält der Nenner zwei konjugiert imaginäre Wurzeln, so hat man zuerst gemäß dem Beweis von Hilfssatz 7 einen Partialbruchanteil der Form (8) abzuspalten und gelangt sofort zu einer positiven Funktion der Form eines Gliedes der rechten Seite von (15).Google Scholar
  26. 25).
    Bedingung (11) enthält unter anderem die notwendige Bedingung, daßalle Koeffizienten von (7) gleiches Zeichen haben.Google Scholar
  27. 26).
    R. M. Foster, The Bell Syst. Techn. Journ., Okt. 1924, und Cauer, Archiv für Elektrotechnik 1926.Google Scholar
  28. 26a).
    „Positiv” ist in diesem Fall gleichwertig mit α≧0, β≧0, γ≧0, δ≧0, αδ−βγ≠0.Google Scholar
  29. 26b).
    Otto Brune, „Synthesis of a finite two-terminal network whose driving-point impedance is a prescribed function of frequency” Journal of Mathematics and Physics,10, No. 3 (1931).Google Scholar
  30. 27).
    Sie wurde abgeleitet aus einem Resultat von G. Herglotz in den Leipziger Berichten 1911 unter Anwendung einer linear gebrochenen Transformation und unter Berücksichtigung des Umstandes, daß es sich um Funktionen handelt, die für reelle λ reellwertig sind.Google Scholar
  31. 28).
    Über äquivalente Darstellungen siehe loc. cit. Archiv f. Elektrotechn. 1926 und QFS.Google Scholar
  32. 29).
    In den Anwendungen interessieren hauptsächlich rein imaginäre λ, d. h. reelle Frequenzen des Wechselstroms.Google Scholar
  33. 30).
    Solche Aufgaben treten häufig in der Technik der Wechselstromschaltungen auf.Google Scholar
  34. 31).
    Die folgenden Ausführungen über das Interpolationsproblem der symmetrischen Siebschaltungen beschränken sich auf ein kurzes Referat, da ausführlichere Veröffentlichungen darüber an anderer Stelle schon erschienen sind oder noch erscheinen. Siehe die Literaturangaben Anm. 11)Vgl. Zeitschr. f. angew. Math. u. Mechanik, Okt. 1930, „Die Siebschaltungen der Fernmeldetechnik”.Google Scholar
  35. 31a).
    dessen Enden innere Punkte eines der gegebenen Intervalle sind.Google Scholar
  36. 31b).
    Veröffentlicht in der in Anm. 11)Vgl. Zeitschr. f. angew. Math. u. Mechanik, Okt. 1930, „Die Siebschaltungen der Fernmeldetechnik” an zweiter Stelle genannten Arbeit.Google Scholar
  37. 32).
    Diese Interpolationsprobleme lassen sich natürlich auch auf positive Matrizen ausdehnen und sind auch in dieser Verallgemeinerung von praktisch großer Bedeutung.Google Scholar
  38. 33).
    Die Ausführungen dieses Paragraphen haben wie die des § 6 nur referierenden Charakter, da beabsichtigt ist, auf diese für die elektrotechnischen Anwendungen besonders wichtigen Interpolationsprobleme in einer besonderen Arbeit ausführlich zurückzukommen. Die elektrotechnischen Aufgaben, Nachbildungsschaltungen, Phasen- und Dämpfungsausgleichsschaltungen, Entzerrungsschaltungen zu entwerfen, führen z. B. auf Interpolationsprobleme 2.Google Scholar
  39. 34).
    Siehe l. c. 13)Math. Annalen77, S. 7, „Über die Beschränkungen analytischer Funktionen, welche durch vorgegebene Funktionswerte bedingt werden”.Google Scholar
  40. 35).
    Das äquivalente elektrotechnische Problem lautet: Einfachste Zweipolschaltungen aus Kapazitäten und Ohmschen Widerständen zu finden, deren Wechselstromwiderstand für eine endliche Anzahl gegebener Frequenzen vorgeschriebene Werte annimmt.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1932

Authors and Affiliations

  • W. Cauer
    • 1
  1. 1.Göttingen

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