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References
Vgl. die Arbeit des Verfassers “Über die Berandung ebener und räumlicher Gebiete (Primendentheorie)”, Math. Annalen103 (1930), S. 70–144, im nachfolgenden als Primendentheorie (kurz “Pth.”) zitiert. Insbesondere kommen hier die §§ 1–10 dieser Arbeit in Betracht.
Nur wenn eine Grenzpunktfolge des Gebietes eine α-Punktfolge ist, d. h. wenn sie auf einem Einschnitt des Gebietes liegt, gibt es eine unmittelbare einfache Verknüpfung sämtlicher Teilfolgen der Punktfolge in einer und derselben unbewalltenf-Gesamtheit. Aber, nur in den einfachsten Fällen umfassen die unbewalltenf-Gesamtheiten vom α-Typus sämtliche Grenzpunktfolgen. Bei Bereichen allgemeinerer Art treten immer mehr die β-Punktfolgen in Erscheinung. Die letzteren bilden immer ausgedehnte Gesamtheiten mit den bemerkenswerten Struktureigenschaften der Komplexe erster Ordnung.
Von größter Bedeutung für den Aufbau der Randelemente ist die Unterscheidung der beiden Arten der zyklischen konjugiertenf-Mengen, je nachdem L(Δ)=0 oder ≠0 ist.
Im § 4 wird dieser Satz in einer wesentlich schärferen Fassung bewiesen.
Die Definition der Enden, welche durch Querschnittketten bestimmt werden, können wir ohne weiteres auf allgemeinere Gebietsketten übertragen, welche durch Ketten beliebiger regulärer Teilschnitte bestimmt werden; das entsprechende, durch solche Gebietsketten bestimmte Häufungskontinuum nennen wir ein Endgebilde (vgl. auch die Abhandlung des Verfassers „Über die Ränderzuordnung bei topologischen Abbildungen in der Ebene und im Raume” [Sitzungsber. Heidelb. Ak. Wiss. Math.-nat. Kl. 1930, Nr. 10, S. 15–16]). — Sind sämtliche gegen ein Endgebilde konvergierende Punktfolgen in einem und demselben Δ enthalten, so nennen wir es ausgezeichnet. Danach können wir einpunktige ausgezeichnete Endgebilde vom α-Typus und kontinuierliche vom β-Typus unterscheiden (vgl. auch § 3).
Vgl. die in demselben Annalenheft erscheinende Note des Verfassers „Über die Bestimmung der Primenden durch reguläre Komplexe”.
Vgl. Fußnote 5). Die Definition der Enden, welche durch Querschnittketten bestimmt werden, können wir ohne weiteres auf allgemeinere Gebietsketten übertragen, welche durch Ketten beliebiger regulärer Teilschnitte bestimmt werden; das entsprechende, durch solche Gebietsketten bestimmte Häufungskontinuum nennen wir ein Endgebilde (vgl. auch die Abhandlung des Verfassers „Über die Ränderzuordnung bei topologischen Abbildungen in der Ebene und im Raume” [Sitzungsber. Heidelb. Ak. Wiss. Math.-nat. Kl. 1930, Nr. 10, S. 15–16]). — Sind sämtliche gegen ein Endgebilde konvergierende Punktfolgen in einem und demselben Δ enthalten, so nennen wir es ausgezeichnet. Danach können wir einpunktige ausgezeichnete Endgebilde vom α-Typus und kontinuierliche vom β-Typus unterscheiden (vgl. auch § 3).
Zur Vermeidung von Mißverständnissen sei hervorgehoben, daß der Ausdruck „Δ konvergiert in-sich gegen das EndgebildeE 8” etwas ganz anderes besagt als der in der Primendentheorie oft gebräuchliche Begriff der Konvergenz derf-Menge Δ gegen ein Ende bzw. ein Endgebilde. Im letzten Fall ist Δ ein Sammelbegriff für alle in ihm enthaltenen gegen das Endgebilde konvergierenden Punktfolgen. Im ersten Fall bezieht sich aber der Begriff der Konvergenz auf das Gebilde Δ als Ganzes, ohne daß wir die Konvergenz gegen das Endgebilde der in Δ enthaltenen Punktfolgen voraussetzen.
Es sei hier besonders hervorgehoben, daß bei der Verbindung zweier Punktfolgen durch ein ausgezeichnetes Streckenzugsystem es immer nur auf die Verbindung fast aller (umkehrbar eindeutig einander zugeordneten) Punkte der beiden Punktfolgen ankommt (vgl. Pth. “Über die Berandung ebener und räumlicher Gebiete (Primendentheorie)”, Math. Annalen103 (1930), S. 70–144. § 3).
Ausgezeichnete Endgebilde vom α-Typus sind mit einpunktigen Endgebilden identisch. Ein solches Endgebilde (wie auch ein Δ von α-Typus) ist durch eine unbewalltef-Gesamtheit vom α-Typus vollständig charakterisiert (vgl. auch S. 16 der unter 5) Die Definition der Enden, welche durch Querschnittketten bestimmt werden, können wir ohne weiteres auf allgemeinere Gebietsketten übertragen, welche durch Ketten beliebiger regulärer Teilschnitte bestimmt werden; das entsprechende, durch solche Gebietsketten bestimmte Häufungskontinuum nennen wir ein Endgebilde (vgl. auch die Abhandlung des Verfassers “Über die Ränderzuordnung bei topologischen Abbildungen in der Ebene und im Raume” [Sitzungsber. Heidelb. Ak. Wiss. Math.-nat. Kl. 1930, Nr. 10, S. 15–16]). — Sind sämtliche gegen ein Endgebilde konvergierende Punktfolgen in einem und demselben Δ enthalten, so nennen wir es ausgezeichnet. Danach können wir einpunktige ausgezeichnete Endgebilde vom α-Typus und kontinuierliche vom β-Typus unterscheiden (vgl. auch § 3) zitierten Abhandlung).
Den Durchmesser einer beliebigen abgeschlossenen Menge bezeichnen wir mit δ.
Als nicht erreichbare Häufungspunkte der KurveC bezeichnen wir solche, welche nicht erreichbar im obigen Sinne sind.
Als Axiom steht (D3) im wesentlichen zwerst bei L. Vieteris, siehe Fußnote 14) Als nicht erreichbare Häufungspunkte der KurveC bezeichnen wir solche, welche nicht erreichbar im obigen Sinne sind; die Bezeichnung “regulär” ist von Alexandroff und Urysohn, siehe Fußnote 33).
Vgl. die entsprechenden Betrachtungen im § 4.
Gerade auf Unabhängigkeit und getrenntes Vorkommen verschiedener Fälle legen wir besonderen Wert. — In diesem Zusammenhang bestehen noch weitere unbeantwortete Fragen. So z. B. liegt die Vermutung nahe, daß der Fall 3 in der Ebene niemals getrennt von dem Fall 4 auftritt.
Welche Bewandtnis es damit hat, ist aus der Schlußbemerkung dieser Arbeit ersichtlich.
Über die vermutliche Unmöglichkeit des unabhängigen Vorkommens des Falles 3 in der Ebene vgl. die Fußnote 18). Gerade auf Unabhängigkeit und getrenntes Vorkommen verschiedener Fälle legen wir besonderen Wert.—In diesem Zussammenhang bestehen noch weiter unbeantwortete Fragen. So z. B. liegt die Vermutung nahe, daß der Fall 3 in der Ebene niemals getrennt von dem Fall 4 auftritt.
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Kaufmann, B. Über die Struktur der Komplexe erster Ordnung in der Theorie der Primenden. Math. Ann. 106, 308–333 (1932). https://doi.org/10.1007/BF01455889
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