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References
Topologischer Raum = Umgebungsraum, vgl. F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre (1914), S. 213.
Siehe Enzykl. III Art. AB 13, H. Tietze und L. Vietoris, S. 156.
Über stetige Abbildung kompakter Räume, Math. Annalen96 (1926), S. 555.
Sur les décompositions semi-continues d'espaces metriques compacts, Fund. Math.11 (1928), S. 169. Kuratowski definiert den Zerlegungsraum alsLimesraum (siehe Fréchet, Rend. circ. mat. Palermo22 (1904)).
R. L. Moore, Proc. Nat. Ac. of Sc.10 (1924), S. 356. L. Vietoris, Amsterd. Proc.29 (1926), S. 443. Siehe weitere Literatur in Enzykl. Art. III AB 13, S. 178.
H. Tietze, Beiträge zur allgemeinen Topologie I, Math. Annalen88 (1923), S. 295.
Siehe H. Tietze, Über Analysis Situs, Abh. math. Sem. Hamburg2 (1923), S. 38.
Siehe „stetige Zerlegung” bei Alexandroff (siehe Fußnote 4) Über stetige Abbildung kompakter Räume, Math. Annalen96 (1926), S. 555), “décomposition continue” bei Kuratowski (siehe FußnoteLimesraum (siehe Fréchet, Rend. circ. mat. Palermo22 (1904)).
Siehe Fußnote Enzykl. III Art. AB 13, H. Tietze und L. Vietoris, S. 180, 189.
, S. 52, die dort genannten Bedingungen erster Art; siehe Fußnote Enzykl. III Art. AB 13, H. Tietze und L. Vietoris, S. 181, 190.
, S. 295. oder Fußnote Enzykl. III Art. AB 13, H. Tietze und L. Vietoris, Ich halte mich an die Umgebungsaxiome, wie sie H. Tietze eingeführt hat, die hinsichtlich der Abgrenzung des Begriffs topologischer Raum mit den Hausdorffschen Axiomen völlig gleichwertig sind.
Die Umgebungen im Hausdorffschen Sinne (siehe Fußnote Topologischer Raum = Umgebungsraum, vgl. F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre (1914), S. 213.)) bestehen aus lauter inneren Punkten. Diese Eigenschaft wird von den durch die oben angeführten Axiome definierten Umgebungen nicht gefordert (vgl. Axiom (C) bei L. Vietoris, Stetige Mengen, Monatsch. f. M. u. Ph.31 (1921), S. 173); für die folgenden Untersuchungen bedeutet das eine große Bequemlichkeit.
, S. 300.
C. Kuratowski nennt sie “tranches”, siehe Fußnote Sur les décompositions semi-continues d'espaces metriques compacts, Fund. Math.11 (1928), S. 171.
Siehe Fußnote Über stetige Abbildung kompakter Räume, Math. Annalen96 (1926), S. 556.
Ich verwendete das Zeichen Σ bei der Bildung der Vereinigungsmenge ohne zu unterscheiden, ob die Mengen, über welche summiert wird, punktfremd sind oder nicht. Das von G. Peano eingeführte Zeichen ω ist zu lesen: “Punkt(Element) von”..
Ein solches System hat auch die sonst (siehe Fußnote Topologischer Raum = Umgebungsraum, vgl. F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre (1914), S. 15) von einem Mengenkörper verlangten Eigenschaften.
Mit Δ bezeichne ich die Durchschnittsbildung.
Siehe F. Hausdorff, Mengenlehre (1927), S. 110.
F. Hausdorff spricht von “dual”, siehe Fußnote Topologischer Raum = Umgebungsraum, vgl. F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre (1914), S. 8, 228.
Siehe das Beispiel von H. Tietze, S. 302.
Das Axiom (D3) findet sich zuerst bei H. Tietze,, S. 301. Der Name “normal” stammt von Alexandroff und Urysohn, Math. Annalen92 (1924), S. 263.
In sachlicher Übereinstimmung mit Alexandroff (siehe14).
Diese Bezeichnung werde ich auch späterhin für Systeme von Mengen (oder anderen Dingen) benützen.
Als Axiom steht (D3) im wesentlichen zuerst bei L. Vietoris, ; die Bezeichnung “regulär” ist von Alexandroff und Urysohn, siehe Fußnote 33) H. Tietze, Beiträge zur allgemeinen Topologie I, Math. Annalen88 (1923), S. 295.
Eine Abbildung heißt nach L. E. J. Brouwer topologisch, wenn sie 1. umkehrbar eindeutig (1-1-deutig) und 2. umkehrbar stetig ist.
, S. 298.
Zwei Räume heißen nach H. Poincaré zueinander homöomorph, wenn der eine vermöge einer topologischen Abbildung auf den anderen abgebildet werden kann.
Siehe 4) Über stetige Abbildung kompakter Räume, Math. Annalen96 (1926), S. 555, S. 557 bzw. 559 die Sātze I und II.
Siehe für (F) Fußnote 1) topologischer Raum = Umgebungsraum, vgl. F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre (1914), S. 213, S. 230, für (D4) Fußnote 7) H. Tietze, Beiträge zur allgemeinen topologie I, Math. Annalen88 (1923), S. 295, S. 310.
Ein Raum ℜ heißt nach P. Alexandroff und P. Urysohn (Math. Annalen 92 (1924), S. 259, 260)Bikompakt (nach L. Vietoris, Mon.-Hefte f. M. u. Ph.31 (1921), S. 187, “lückenlos”), falls er die Eigenschaft hat, daß allemal, wenn die Vereinigungsmenge eines Systems von offenen Mengen aus ℜ den Raum ℜ enthält, er bereits in der Vereiningungsmenge von endlich vielen Mengen dieses Systems enthalten ist.
Jede abgeschlossene Teilmenge eines bikompakten Raumes ist bikompakt.
Siehe Alexandroff und Urysohn,, S. 263.
Vgl. P. Alexandroff,, S. 562.
Ist in einem bikompakten Raum ℜ der Durchschnitt von je endlich vielen Mengen eines Systems von in ℜ abgeschlossenen Mengen nicht leer, so ist stets auch der Durchschnitt aller Mengen des Systems von Null verschieden. Diese Eigenschaft folgt aus der Definition des bikompakten Raumes durch Übergang zum komplementären System; sie könnte ebenfalls als Definition dienen.
Ein Raum ist bikompakt im Kleinen, wenn es zu jedem Punkt eine bikompakte Umgebung gibt (siehe P. Alexandroff, Math. Annalen92 (1924), S. 294).
Siehe Fußnote 4) Über stetige Abbildung kompakteer Räume, Math. Annalen96 (1926), S. 555, S. 557.
oder einen Raum, der die Axiome (A), (B), (C) und (D0) erfüllt.
. C. Kuratowski (siehe Fußnote 5))Limesraum (siehe Fréchet, Rend. circ. mat. Palermo22 (1904)). sagt; “semi-continue”.
Nach Satz 10 ist dann die Zerlengung zugleich stetig. In Beispiel 2 hat man eine oberhalb-stetige, nicht topologische Zerlegung.
, S. 174): “continue”.Limesraum (siehe Fréchet, Rend. circ. mat. Palermo22 (1904)), S. 174): “continue”.
Um nämlich über die Zusammensetzung vong-stetigen Zerlegungen zu einer topologischen Zerlegung etwas aussagen zu können, wären eingehendere Voruntersuchungen über Schrumpfbereicheigenschaften vong-stetigen Zerlegungen notwendig, für die hier nicht der Platz ist.
Der zu beweisende Satz ist hinsichtlich stetiger Zerlegungen eine Verallgemeinerung von Satz 16; jedoch ist hier ein Beweis durch den Schluß vonn aufn+1 nicht möglich, da es bereits bei einem aus drei Zerlegungen bestehenden, vexträglichen System vorkommen kann, daß die aus je zwei von diesen Zerlegungen zusammengesetzte Zerlegung mit der dritten nicht verträglich ist.
Siehe das Beispiel von Fußnote 87) Enzykl. III Art. AB 13, H. Tietze und L. Vietoris,
Siehe Fußnote 10) Enzykl. III Art. AB 13, H. Tietze und L. Vietoris.
Siehe Fußnote 2) Enzykl. III Art. AB 13, H. Tietze und L. Vietoris, S. 180.
Siehe Fußnote 82) Enzykl. III Art. AB 13, H. Tietze und L. Vietoris.
Diese drei Bedingungen sind bei endlichem l von selbst erfüllt.
Bei solchen Zellaufbauten ist die Bedingung A 4) von Fußnote 2) Enzykl. III Art. AB 13, H. Tietze und L. Vietoris, S. 188 nicht mehr erfüllt; siehe auch Fußnote 2), S. 190, Fußnote 135).
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Aumann, G. Beiträge zur Theorie der Zerlegungsräume. Math. Ann. 106, 249–294 (1932). https://doi.org/10.1007/BF01455886
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01455886