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References
Einige distributive Systeme in Mathematik und Logik, Jahresber. d. Deutschen Math. Ver.38 (1929), S. 35–40; Zur Theorie der abstrakten Verknüpfungen, Math. Annalen105 (1931), S. 308–323. (Im folgenden mit A. V. zitiert.)
Vgl. K. Menger, Bemerkungen zu Grundlagenfragen. IV, Axiomatik der endlichen Mengen und der elementargeometrischen Verknüpfungsbeziehungen, Jahresber. d. Deutschen. Math. Ver.37 (1928), S. 309 ff. In dieser Arbeit, die andere Ziele verfolgt und die ich erst nachträglich kennen gelernt habe, findet ein dem unsrigen verwandtes Axiomensystem Verwendung.
Die Gleichheitsbeziehung ist insofern bevorzugt behandelt, als sie bei der Beschreibung der übrigen Beziehungen vorausgesetzt wird. Vgl. auch G. Hessenberg, Grundbegriffe der Mengenlehre (1906), Abh. d. Friesschen Schule1, S. 489ff. Dort wird das Verhältnis zur Identität herangezogen.
Ist von “beliebigen” Elementen die Rede, so können sich die Elementsymbole sowohl auf dasselbe als auch auf verschiedene Elemente beziehen.
Es gilt sogar das distributive Gesetz (Axiom VI bzw. Satz 7).
Infolgedessen kommt man grundsätzlich mit einer der beiden Beziehungen >und<aus. Findeta>b statt, so heißea Oberelement vonb undb Unterelement vona.
Dieser Satz spricht einen Teil des distributiven Gesetzes aus, worauf in § 3 näher eingegangen wird.
Vgl. A. V.. § 2.
Reiches Material für solche Übertragungen enthält z. B. P. Bachmann, Allgemeine Arithmetik der Zahlenkörper (1905), S. 7 ff., 49 ff., 160 ff. (Bachmann bezeichnet die relative Vereinigung der Körpera undb mita\b, die relative Vereinigung der Moduln und Idealea undb mita+b.)
Was sind und was sollen die Zahlen? 3. Aufl. (1911), S. 1–5. Die 20 Satze des § 1 bei Dedekind lassen sich ebenfalls leicht in die Sprache unserer Theorie übersetzen.
Auf das zweite Beispiel hat mich Herr H. Hasse aufmerksam gemacht.
Vgl. z. B. G. Wernick, Die Unabhängigkeit des zweiten distributiven Gesetzes von den übrigen Axiomen der Logistik, Journ. f. d. reine u. angew. Math.161 (1929), S. 123ff.
UnterliegtM außer VII auch VII′, so ist dann und nur danne=f, wennM aus einem einzigen Element besteht. Ferner beachte man, daß es nach VII zu jedema mindestens einb gibt, nämlichb=a∪e, so daßa=b gilt; dann folgt aber das Gleichheitsaxiom I, 3 aus I, 1 und I, 4; übrigens leistet V dasselbe.
Vgl. E. Steinitz, Algebraische Theorie der Körper, Journ. f. d. reine u. angew. Math.137 (1910), S. 180. oder Neuausgabe von R. Baer und H. Hasse (1930), S. 16. Im Rahmen unserer Darstellung würde die Bezeichnung ausgezeichneter Körper oder Einheitskörper bzw. Integritätsbereich an Stelle von Primkörper bzw. Primintegritätsbereich angemessener sein, da wir mit der Bezeichnung Primelement einen andern Sinn verbinden. Primkörper in unserm Sinn sind beispielsweise die in § 2, 1 dieser Arbeit betrachteten quadratischen Körper.
Vgl. den Beweis für die Existenz eines Primideals z. B. bei E. Landau, Einführung in die elementare und analytische Theorie der algebraischen Zahlen und der Ideale (1918), S. 24.
Vgl. Einl. 3.
Vgl. § 6, 2.
In einem Verband mit Primelementen gibt es selbstverständlich stets Elementea, die sich in nicht trivialer Weise gemäß (9) aufspalten lassen; im allgemeinen trifft das aber nicht für jedesa zu.
Axiom IX enthält keine Aussage über Primärelemente.
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Klein, F. Über einen Zerlegungssatz in der Theorie der abstrakten Verknüpfungen. Math. Ann. 106, 114–130 (1932). https://doi.org/10.1007/BF01455881
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