Skip to main content
SpringerLink
Log in

Über nulldimensionale Punktmengen

  • Published:
Mathematische Annalen Aims and scope Submit manuscript

This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.

Access this article

Log in via an institution

Price excludes VAT (USA)
Tax calculation will be finalised during checkout.

Instant access to the full article PDF.

Institutional subscriptions

Reference

  1. Vgl. wegen Terminologie folgende Arbeiten von P. Urysohn: P. Urysohn, Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen (Math. Annalen94, S. 262–296, insbesondere § 8 (S. 270). P. Urysohn, Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes, I Partie: “La dimension” (Fund Math.7, S. 30–137, und8, S. 225–360, insbesondere7, S. 49–79), II Partie: “Les lignes Cantoriennes” (Verhandelingen der Koninkhjke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, I Sectie, Deel XIII, 1927). P. Alexandroff, Darstellung der Grundzüge der Urysohnschen Dimensionstheorie (Math. Annalen98). Im folgenden werden diese Arbeiten bzw. als “Zusammenhängende Mengen”, “Mémoire I”, “Mémoire II”, “Darstellung” zitiert.

  2. Ein topologischer Raum heißtmetrisierbar, wenn er einem metrischen Raume homöomorph ist.

  3. Ein metrisierbarer Raum heißtseparabel, falls in ihm eine abzählbare Teilmenge dicht ist (“dicht” im folgenden stets im Sinne “überall dicht” gemeint).

  4. In der Tat, erstens ist jeder metrisierbare separable Raum einer Teilmenge eines kompakten metrischen Raumes homöomorph (P. Urysohn, Der Hilbertsche Raum usw., Math. Annalen92, S. 302), zweitens ist jede nuldimensionale Teilmenge eines kompakten metrischen Raumes einer Teilmenge der Menge aller Irrationalzahlen homöomorph (Mémoire1, ch. I, § 16; Fund. Math.7, S. 76, 77); vgl. auch die daselbst zitierte Arbeit von Sierpiński (Fund. Math.2, S. 89), in welcher derselbe Satz bis auf unwesentliche Einschränkungen bewiesen ist. Übrigens wird der Leser im folgenden eine kurze Wiedergabe des Beweises des soeben erwähnten Satzes finden.

  5. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre (erste Auflage), S. 274. Leipzig, Veit, 1914. Im folgenden wird das soeben erwähnte Buch kurz als “Hausdorff” zitiert.

  6. S. z. B. Mémoire1, ch. I, § 17 (Fund. Math.7, S. 77).

  7. Ausführlicher a. a. O. S. z. B. Mémoire1, ch. I, §17 (Fund. Math.7, S. 77).

  8. Die Notwendigkeit unserer Bedingnng gilt (wie aus dem obigen Beweis ersichtlich) auch für Räume positiver Dimension.

  9. Dabei heißt ein topologischer RaumR im Punkte ξ kompakt (P. Alexandroff, Über die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Räume, Math. Annalen92, S. 294), falls es eine Umgebung des Punktes ξ gibt, deren abgeschlossene Hülle, als Relativraum betrachtet, kompakt ist.

  10. Siehe a. a. O.). S. z. B. Mémoire1, ch. I, § 17 (Fund. Math.7, S. 77).

  11. A. a. O. S. 315 f. Siehe a. a. O. S. z. B. Mémoire1, ch. I, § 17 (Fund. Math.7, S. 77).

  12. Hausdorff, S. 318 (“Jede absteigende Folge nicht leerer abgeschlossener Mengen, deren Durchmesser nach Null konvergiert, hat einen und nur einen gemeinsamen Punkt”).

  13. Zufolge dem unter4) in erster Linie zitierten Urysohnschen Satze und der topologischen Invarianz der in vollständigen Räumen gelegenenG δ-Mengen ist die Klasse der absolutenG δ-Mengen mit derjenigen derin vollstandigen separablen Räumen gelegenenG δ-Mengen topologisch identisch.

  14. P. Alexandroff, Les ensembles de la 1re classe et les espaces abstraits, Comptes Rendus178 (1924), S. 185. Die soeben ausgesprochene Behauptung ist in dieser Arbeit (zum erstenmal) auf dem Wege bewiesen, daß eintopologisches Kriterium für vollsändige-separable Räume einerseits und für in solchen R⇓umen gelegeneG δ-Mengen anderseits gegeben wird, wobei es sich zeigt, daß das betreffende Kriterium in beiden Fällendasselbe ist. Hausdorff hat danach (Fund. Math. 6) direkt bewiesen, daß die in vollständigen (sogar nicht separablen) metrischen Räumen gelegenenG δ-Mengen mit vollständigen Räumen topologisch identisch sind. (Bei diesem Beweise wird aber keine topologische Charakterisierung der betreffenden Räume gegeben, sondern direkt gezeigt, daß man jede in Betracht kommende Menge so “ummetrisieren” kann, daß sie sich in einen vollständigen metrischen Raum verwandelt.) — Anmerkung bei der Korrektur (5. II. 1927). In der Ietzten Zeit ist es Herrn Wedenissoff gelungen, die in meiner soeben zitierten Comptes Rendus-Note gegebene Charakterisierung mit Hilfe des Satzes und eines Satzes von Sierpiński (Fund. Math.6, S. 106) auf beliebige (nicht separable) vollständige Räume zu erweitern. Wie mir Herr Hausdorff mitgeteilt hat, hat auch er das gleiche Resultat bekommen.

    Google Scholar 

  15. Im wesentlichen ist dieser Satz (für a priori als linear vorausgesetzte Mengen) in einem Theorem von Brouwer erhalten (Proceed. Kon. Ak. Amsterdam20 (April 1917), S. 1193).

  16. Siehe wegen des Beweises Mémoire1, ch. VI, § 8 (Fund. Math.8, S. 341). Bei Menger (Monatshefte f. Math. u. Phys.33, S. 147) wird der Satz für kompakte Räume bewiesen, woraus er fürF δ unmittelbar folgt mittels des Satzes, daß die Summe abzählbar vieler in sich kompakter nulldimensionaler Mengen wieder nulldimensional ist.

  17. Auch die Homogenitätseigenschaft der linearenG δ-Mengen war zuerst von Brouwer (a.a. O. Im wesentlichen ist dieser Satz (für a priori als linear vorausgesetzte Mengen) in einem Theorem von Brouwer erhalten (Proceed. Kon. Ak. Amsterdam20 (April 1917), S. 1193). bewiesen.

  18. Wenn diese an sich ganz elementare Eigenschaft der perfekten Mengen nicht ohne weiteres ins Auge springt, so ist das ausschließlich darauf zurückzuführen, daß in Falle der perfekten Mengen die betreffende stetige Beziehung einedie Ordnungsrelationen störende ist.

  19. Siehe die unter10) zitierte Arbeit.

  20. Eine in irgendeinem Raume gelegene Menge heißt nach Sierpiński eineF ϱ-Menge falls sie sich als Differenz zweier abgeschlossener Mengen darstellen kann.

  21. Baire, Leçons sur les fonctions discontinues. Allgemein zuerst bei Hausdorff, S. 328.

  22. Siehe wegen Terminologie die unter. Vgl. wegen Terminologie folgende Arbeiten von P. Urysohn: P. Urysohn, Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen (Math. Annalen94, S. 262–296, insbesondere § 8 (S. 270). P. Urysohn, Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes, I Partie: “La dimension” (Fund. Math.7, S. 30–137, und8, S. 225–360, insbesondere7, S. 49–79), II Partie: “Les lignes Cantoriennes” (Verhandelingen der Koninkhjke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, I Sectie, Deel XIII, 1927). P. Alexandroff, Darstellung der Grundzüge der Urysohnschen Dimensionstheorie (Math. Annalen98). Im folgenden werden diese Arbeiten bzw. als “Zusammenhängende Mengen”, “Mémoire I”, “Mémoire II”, “Darstellung” zitiert. zitierten Urysohnschen dimensionstheoretischen Arbeiten, insbesondere die Einleitung zum Mém. I und auch das erste Kapitel des Mén. II.

  23. Vgl. wegen der Sätze I und II Mém.1, ch. IV, § 15 (Fund. Math.8, S. 281), Mém2, ch. I, § 10 (Verh. Akad. Amsterdam13, Nr. 4), wo sie auf der hier gegebenen Grundlage bewiesen sind. Vgl. auch den Beweis des Satzes II dieses Anhanges, den Menger in Math. Annalen95, S. 285 (Satz VI) gegeben hat.

Download references

Author information

Authors and Affiliations

  1. Moskau

    Paul Alexandroff

Authors
  1. Paul Alexandroff
    View author publications

    You can also search for this author in PubMed Google Scholar

Additional information

Die Resultate der vorliegenden Arbeit stammen im wesentlichen vom Frühjahr 1924. Der vorliegende Text ist aber erst im April 1926 vom Unterzeichneten endgültig redigiert worden. Paul Alexandroff.

Rights and permissions

Reprints and permissions

About this article

Cite this article

Alexandroff, P. Über nulldimensionale Punktmengen. Math. Ann. 98, 89–106 (1928). https://doi.org/10.1007/BF01451582

Download citation

  • Received:

  • Issue Date:

  • DOI: https://doi.org/10.1007/BF01451582

Search

Navigation