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References
Mathematische Annalen Bd. 7, S. 534: „Bei der Feststellung des Grenzbegriffs kommen eben nur solche Segmente in Vergleich, die in dieser Relation stehen, daß das eine ein Stück des anderen ist.”
Speziell gilt auch vom Dedekindschen Stetigkeitsaxiom (man vergl. § 12 der vorliegenden Arbeit), daß es nur Anordnungsbegriffe voraussetzt, während der Veronesesche Stetigkeitsbegriff (Atti della R. Acc. dei Lincei, ser. 4, mem. d. cl. d. sc. fis. mat. e nat. vol. VI, 1889, p. 612) die Streckenvergleichung, also im Grund Kongruenzaxiome voraussetzt.
Vorlesungen über Neuere Geometrie 1882, S. 164 ff.
Atti della R. Accademia dei Lincei 1880–81, ser. 3, mem. d.: cl. d. sc. fis. mat. e nat. vol. IX, p. 489 ff.
Damit ist der Satz in § 13 dieser Arbeit gemeint, der dem archimedischen Axiom der gewöhnlichen Geometrie entspricht; vergl. Balser, Mathematische Annalen Bd. 55, S. 296 und Schur ebendaselbst Bd. 51, S. 402.
Vergl. Pasch, a. a. O. S. 125.
Der Fundamentalsatz wird im Anfang der Arbeit entwickelt; es sind jedoch diese Entwicklungen verbesserungsbedürftig. Ich will nicht hervorheben, daß der Begriff von sich deckenden Elementepaaren (Strecken) eingeführt wird (a. a. O. p. 489); dies ist, da de Paolis nachher nicht mehr darauf zurückkommt, nur scheinbar. Daß aber, nachdem eine Zuordnung von drei ElementenP, Q, R zu drei ElementenP′, Q′, R′ vorgenommen worden ist, eineein-eindeutige Beziehung zweier Gebilde entsteht, ist bei der Art, wie diese Beziehung hergestellt wird, nicht hinreichend bewiesen. Es wird nämlich jedes ElementE des ersten Gebildes ausP, Q, R durch Bestimmung von vierten harmonischen Punkten entweder durch eine endliche Zahl von Schritten oder durch einen Grenzprozeß hergeleitet; das entsprechende ElementE′ wird dann durch Übertragung des Vorganges auf das andere GebildeF′ gewonnen. Hinsichtlich eines ElementsE, das durch eine endliche Zahl von Schritten entsteht, und seines entsprechenden wird (a. a. O. p. 493) die Bemerkung gemacht: „Tutte le leggi equivalenti che costruisconoE applicate al sistema armonico diF′ costruisconoE′”. Dies kann auch wirklich eingesehen werden, vorausgesetzt, daß man bedenkt, daß z. B. zwei Punktreihen durch einmaliges oder mehrmaliges Projizieren so aufeinander bezogen werden können, daß drei beliebigen PunktenP, Q, R der einen drei beliebige PunkteP′, Q′, R′ der anderen entsprechen. Sollte aber, wie es fast den Anschein hat, de Paolis an dieser Stelle die Tatsachen der Ebene nicht benutzen, sondern nur in der Geraden operieren wollen, so müßten zur Begründung der erwähnten Bemerkung gewisse Voraussetzungen über die harmonischen Punkte gemacht werden (z. B. die Postulate IV, V, VI in § 6 der vorliegenden Arbeit, man vergl. auch § 25 bis 32, S. 237 und S. 249). Hinsichtlich eines ElementsE 1, das ausP, Q, R nur durch einen Grenzprozeß abgeleitet werden kann, wird nun angenommen (p. 493, Nr. 12)), daß es auf zwei Arten durch einen Grenzprozeß dargestellt worden sei, und daß sich so das eine MalE′ 1, das andere MalE¨' 1 als entsprechendes Element des zweiten GebildesF′ ergeben habe. DaßE′ 1 undE¨' 1 nicht verschieden sein können, wird dann folgendermaßen dargetan. Es ließen sich, wenn sie verschieden wären, drei ElementeA′, B′, C′ vonF′ so annehmen, daßA′, B′, E¨' 1,C′, E′ 1 in der Ordnung, in der sie eben aufgeführt worden sind, liegen. Nun wird aus den Betrachtungen von Darboux (vergl. § 8 der vorliegenden Arbeit) geschlossen, daß die den ElementenA′, B′, C′, E′ 1 entsprechendenA, B, C, E′ 1 in der eben genannten Ordnung, und die den ElementenA′, B′, E¨' 1,C′ entsprechendenA, B, E 1,C in eben dieser Ordnung liegen müßten. Da man nicht zugleich die OrdnungA, B, C, E 1 undA, B, E 1,C haben kann, ist jetzt ein Widerspruch eingetreten. Eine genauere Überlegung zeigt aber, daß die Art, wie die Darbouxsche Betrachtung hier angewendet wird, nicht ausschließt, daßC mitE 1 zusammenfallen könnte, abgesehen von Anderem, was sich noch einwenden ließe, so daß der Beweis hinfällig ist. De Paolis hätte das Zeuthen-Lürothsche Resultat, d. h. die Tatsache der Dichtigkeit (§ 14 der vorliegenden Arbeit), das er selbst p. 492 in etwas anderer Weise bewiesen hat, auch an dieser Stelle beiziehen müssen. Hat man den Fundamentalsatz bewiesen, so ist zur Behandlung der Involution noch die Tatsache nötig, daßABA′B′≙A′B′AB, was ohne wirkliches Projizieren jedenfalls nicht auf einfache Weise gezeigt werden kann (vergl. außerdem S. 190 Anm.).
Man vergl. die Postulate III, IV und V des Textes.
Auf die „harmonischen Schließungssätze” der Geraden hat Vahlen (Abstrakte Geometrie, 1905, S. 105) besonders aufmerksam gemacht. Die Unabhängigkeit des oben eingeführten Schließungssatzes von den anderen hier eingeführten Postulaten erscheint zwar als plausibel, dürfte aber doch nicht ohne Umständlichkeit ganz strenge zu beweisen sein.
Hinsichtlich der Ausdrucksweise vergleiche man Hilbert, Grundlagen der Geometrie § 1–3 und § 22. Die Axiome der Verknüpfung und Anordnung können in einer der projektiven Geometrie besonders angepaßten Weise formuliert werden, indem man sie so faßt, wie sie für die geometrischen Elemente einschließlich der sogenannten unendlich fernen Elemente gültig sind. Es müssen dann z. B. an Stelle des Begriffs des „Zwischen” die Begriffe des „Sichtrennens” und „Sichnichttrennens” von Punktepaaren oder andere ähnliche Beziehungen treten (vergl. § 1 und § 5 des Textes), und es ist dann auch der Satz der perspektivischen Dreiecke von Desargues wieder allgemeiner zu formulieren, so daß die Schnittpunkte entsprechender Seiten der beiden Dreiecke aufirgend einer Geraden vorausgesetzt werden. Will man die Axiome der Verknüpfung und Anordnung nicht in der erwähnten Weise einführen, so muß man zu den gewöhnlichen Axiomen der Verknüpfung und Anordnung noch das Parallelenaxiom in einer von jeder Beziehung zu den Kongruenzaxiomen freien Form hinzufügen, wie sie auch von Hilbert gewählt worden ist:Durch einen Punkt kann in einer diesen Punkt enthaltenden Ebene eine und nur eine Gerade gezogen werden, die eine gegebene, nicht durch den Punkt gehende Gerade der Ebene nicht schneidet. Die „unendlich fernen Elemente” lassen sich dann begründen. Die oben angedeuteten projektiven Axiome der Verknüpfung und Anordnung bestehen von selbst in der elliptischen Geometrie (hinsichtlich ihres Begriffs vergl. man F. Klein, Math. Annalen Bd. 37, S. 554f.) und nach der Adjunktion der idealen Elemente auch in der hyperbolischen Geometrie (Klein, Math. Annalen Bd. 4, S. 623 und Bd. 6, S. 131 ff., Schur, Math. Annalen Bd. 39, S. 113).
Es hat Vahlen neuerdings darauf hingewiesen, daß bereits Gauß (Werke, Bd. VIII S. 222) die klare Formulierung der Anordnungstatsachen für notwendig erachtet hat.
Damit möchte ich eine bekannte Tatsache bezeichnen, vergl. § 14.
Mathematische Annalen Bd. 17, S. 58 (vergl. § 8 der vorliegenden Arbeit). Aus diesem Hilfssatz konnte Darboux schließen, daß, wenn die Punkte einer Geraden auf die einer anderen ein-eindeutig so bezogen sind, daß vier harmonischen Punkten stets vier ebensolche Punkte zugeordnet sind, dann die Punkte der einen Geraden entsprechend denen der anderen geordnet liegen. Daß der Fundamentalsatz der projektiven Geometrie aus den Darbouxschen Entwicklungen nicht ohne weitere ergänzende Betrachtungen — die in der Richtung der anderen Beweise des Fundamentalsatzes sich bewegen müssen — erschlossen werden kann, ist von Schur (Mathematische Annalen Bd. 18, S. 252) bemerkt worden.
Es könnte bei oberflächlicher Betrachtung auffallend erscheinen, daß der Begriff der „Strecke” in einer Begründung der rein projektiven Geometrie als Grundbegriff auftritt. Tatsächlich wird aber nur vorausgesetzt, daß in bezug auf zwei Punkte der Geraden die anderen in zwei Systeme zerfallen; insbesondere wird selbstverständlich keine Kongruenz von Strecken vorausgesetzt. In § 5 wird dann noch eine andere Grundlegung der Anordnungstatsachen gegeben werden, wobei das Punkttripel den Grundbegriff bilden, und der Begriff der Strecke aus dem Begriff des Punkttripels hergeleitet werden wird. Es mag daran erinnert werden, daß Anordnungsaxiome zuerst von Pasch (Vorlesungen über neuere Geometrie 1882, S. 5ff.) aufgestellt worden sind. Die hier gewählten entsprechen einigermaßen der für die gewöhnliche Gerade gegebenen Formulierung von Ingrami (Elementi di Geometria per le scuole secondarie superiori, Bologna 1899, p. 1 ff., man vergl. auch Peano, Rivista di Matematica vol. IV, p. 55 ff. und Schur, Mathematische Annalen Bd. 55, S. 267). Die Postulate des Textes sind aberprojektiv formuliert, worunter ich — die Ausdrucksweise von Schur ist damit nicht im Einklang — eine Formulierung verstehe, die dann gilt, wenn die „idealen Elemente” bereits „adjungiert” sind. Die im Text gegebenen Postulate unterscheiden sich kaum von denjenigen, die M. Pieri in den Atti dell' Accad. d. sc. d. Torino vol. XXX, p. 626 ff. aufgestellt hat.
Das Entsprechende hierzu bei der gewöhnlichen Geraden bildet eine Darstellung der Anordnungstatsachen, die sich auf zwei Arten von Punktpaaren gründet. Man vergl. G. Vailati, Rivista di Mat. vol. II p. 71 und meine Arbeit in den Sächs. Ber. 1901, S. 39.
Vergl. F. Enriques, R. Istituto Lombardo Rend. ser. II, vol. XXVII, p. 557, wo übrigens das Punkttripel nicht den Grundbegriff bildet.
Vergl. S. 178 Anm.
Man kann aber auch den Begriff einer zyklisch geordneten und in einem gewissen Sinne dichten (im Sinn von Vahlen, Abstrakte Geometrie S. 9) Menge definieren, indem man ihn auf den Begriff einer einfach geordneten (vergl. G. Cantor, Zur Lehre vom Transfiniten, 1890, S. 68) Menge zurückführt. Dies hat Enriques (Ist. Lomb. a. a. O. p. 554ff. und Vorlesungen über projektive Geometrie, deutsche Ausgabe von Fleischer, 1903, S. 16) getan.
Man vergl. Pasch, Vorlesungen über neuere Geometrie, 1882, S. 5 ff.; Burkhardt, Nachr. d. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, math.-phys. Kl. 1895, S. 2; Hilbert, Grundlagen der Geometrie, 1899, S. 6 und Proceedings of the London Math. Soc. vol. XXXV, p. 51; Moore, Transactions of the American Math. Soc. vol. 3, p. 143 ff.; Veblen, ebenda vol. 5, p. 344ff., wobei noch zu bemerken ist, daß die in den drei letzten Arbeiten mit Hilfe des ebenen Axioms der Anordnung erreichten Vereinfachungen des Axiomsystems hier, wo die Gerade losgelöst von der Ebene betrachtet wird, sich nicht anbringen lassen.
Vergl. Vailati, Rivista d. Mat. vol. V, p. 75 und p. 183 und A. Padoa, ebenda vol. VI, p. 35.
Hier muß dies in der Tat vorausgesetzt werden. Fano hat ursprünglich die besondere Annahme eingeführt, daß vier verschiedene harmonische Punkte existieren (Giornale di Matematiche vol. 30, p. 115 und p. 126). Dies vorauszusetzen ist jedoch dann nicht nötig, wenn man die (projektiven) Axiome der Verknüpfung und Anordnung des Raumes fordert. Man vergl. hinsichtlich des Beweises dafür, daß der vierte harmonische zu drei verschiedenen Punkten selbst von diesen verschieden ist, und daß die konjugierten Paare sich trennen, Enriques, R. Istituto Lombardo, Rendiconti ser. II, vol. XXVII, p. 560 und Fano, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Bd. IX, 1895, p. 79 (Brief an Enriques). M. Pieri (Torino Mem. vol. XXXXVIII, p. 24ff. und Torino Atti vol. 39, p. 315 Anm.) hat Postulate aufgestellt, die bestimmt sind, die Anordnungsaxiome überflüssig zu machen. Dabei tritt wieder die Voraussetzung auf, daß der vierte harmonische zu drei verschiedenen Punkten ein von diesen verschiedener ist, und es kommen dazu noch Postulate, welche die Existenz eines gemeinsamen harmonischen Punktepaares zu zwei Punktepaaren betreffen. Dabei ist zu beachten, daß die harmonische Lage bei Pieri keinen Grundbegriff vorstellt, sondern auf Grund der Tatsachen der Verknüpfung durch die Vierecksfigur definiert wird.
Vergl. S. 164 unten Anm.
Vergl. den schon zitierten Beweis von Zeuthen und Lüroth bei Klein, Mathematische Annalen Bd. 7, S. 535.
Man vergl. übrigens die ausführlichen Beweise in § 7 und § 10 (Satz 30)).
Es ließe sich dabei zeigen, daß die beiden zyklischen Anordnungen 16) und 17) ungleichartig sind; man vergl. S. 178 Anm.
Mathematische Annalen Bd. 17, S. 58.
Vergl. Rendiconti del R. Istituto Lombardo, Serie II, vol. 27, 1894, p. 562 und 563.
Daß eine harmonische Folge sich schließen kann, wenn man die räumlichen Axiome der Verknüpfung, aber nicht die der Anordnung annimmt, hat zuerst G. Fano gezeigt (Giorn. d. Mat. vol. XXX, p. 119 ff.).
Der Beweis beruht hier auf dem Satz 11), d. h. also auf dem postulierten Schließungssatz VI. In anderen Darstellungen der Theorie werden naturgemäßerweise die Tatsachen der Ebene benutzt; man vergl. Killing, Einführung in die Grundlagen der Geometrie, 1. Bd. 1893, S. 110g, wo ein vollständiger Beweis gegeben ist, ferner Lindemann-Clebsch, Vorlesungen über Geometrie, 2. Bd., 1. Teil, 1891, S. 436 bis 441, und Klein, Nichteuklidische Geometrie I, autogr. Vorl. 1889–1890, 2. Abdruck 1893, S. 351, 352, in welchen Werken nur der Falll=2, beziehungsweise nochl=3, behandelt ist, weiter Amodeo, Atti della R. Acc. d. Sc. di Torino, 26. Bd. 1890–1891, S. 756, 757. Der Beweis von de Paolis (a. a. O. p. 496) macht vom Fundamentalsatz Gebrauch; auch benutzt er noch die Involution oder vielmehr die Tatsache, daßA, B, C, D harmonische Punkte sind, wennABCD≙ADCB.
Der Beweis des Satzes 31) beruht auch auf dem Umstand (vergl. S. 193), daß in der harmonischen FolgeA 0 A 1 A 2 A 3... der PunktA ν+1 der harmonische Mittelpunkt vonA 0 undA 2ν+2 ist; das wurde aber (vergl. den Beweis von Satz 27)) mit Hilfe des Schließungssatzes gezeigt. Dieser ist also hier vorausgesetzt. Die Existenz der Teilung wird, wie schon bemerkt, später nachgewiesen werden. In solchen Untersuchungen, die unsere Theorie im Zusammenhang mit den Tatsachen der Ebene behandeln, ergibt sich die Existenz der harmonischenn-Teilung einer StreckeAB für den FluchtpunktF dadurch, daß man auf irgend einer Geraden irgend eine harmonische Folge für irgend einen PunktF′ dieser Geraden als Fluchtpunkt konstruiert und dann, eventuell mehrmals, so projiziert, daß der erste Punkt der Folge inA, dern+1te inB, undF′ inF übergeführt wird. Daß für dieselbe Zahln nicht eine zweite Teilung derselben Strecke für denselben Fluchtpunkt vorhanden sein kann, ergibt sich dann aus dem Fundamentalsatz der projektiven Geometrie. Man vergleiche hierzu de Paolis a. a. O. p. 494, 495. De Paolis gibt nachher (Nr. 20) noch eine zweite Konstruktion, die lediglich auf dem Aufsuchen von vierten harmonischen Punkten beruht, und zeigt damit, daß die Teilpunkte dem ausA, B undF gebildeten allgemeinen harmonischen Punktsystem (vergl. hier § 14) angehören. Es wird aber die Übereinstimmung des bei dieser Konstruktion zuletzt erhaltenen Punktes mit dem ersten Teilpunkt der harmonischenn-Teilung und damit auch von neuem die eindeutige Bestimmtheit dieses Teilpunktes mit Hilfe eines Satzes von der Involution bewiesen. Da dieser Satz mit Hilfe des Fundamentalsatzes gezeigt wird, und de Paolis (a. a. O., vergl. den ersten Teil der Abhandlung) sich den Fundamentalsatz für die kontinuierliche Gerade formuliert denkt, so erscheint die Beweisführung zunächst als vom Stetigkeitsaxiom abhängig. Die Bemerkung von Fano (Giornale di Matematiche vol. 30, p. 127 Anm.), der zufolge die Betrachtung von de Paolis so gewendet werden kann, daß sie nur die von Fano benutzten Voraussetzungen erheischt, zu denen das Stetigkeitsaxiom nicht gehört, wird in § 30 (erste Anm.) besprochen werden. Bei Amodeo (Atti della R. Accad. d. Sc. di Torino vol. XXVI, p. 757) wird die Eindeutigkeit der Teilung mit den Worten begründet: „Evidentemente il puntob 1 è unico; poichè ogni altra analoga costruzione può ricondursi per proiezione alla precedente.” Hier muß also entweder auf den für die kontinuierliche Gerade geltenden oder auf einen spezieller formulierten Fundamentalsatz (vergl. § 36 dieser Arbeit, insbesondere Satz 118)) oder auf die hier in der ersten Anm. von § 30 genauer analysierte Schlußweise von Fano Bezug genommen werden. Eine besondere Behandlung der harmonischen Teilung, die auch von den Tatsachen der Ebene ausgeht, findet sich bei F. Klein in den autographierten Vorlesungen über Nichteuklidische Geometrie I, ausgearbeitet von Schilling, 2. Abdruck 1893, S. 338 (1. Abdruck 1892). Es werden dort die ganzzahligen Punkte 0, 1, 2,... der Skala durch die Beziehung abgeleitet, die auch bei Killing (Einführung in die Grundlagen der Geometrie, 1. Bd, 1893, S. 107) wieder benutzt ist, daß die GeradenpaareP0,O1;P1,O2;P2,O3;... sich auf einer durch den Punkt ∞ der Skala gehenden Geraden schneiden, wenn die PunkteP undO in der Ebene der Skala außerhalb der Geraden der Skala mit dem Punkt ∞ in gerader Linie gewählt sind. Nachdem dann gezeigt worden ist, daß noch andere in der Figur auftretende Kreuzungspunkte sich in Geraden anordnen, werden für die Punkte 1/2 und 1/3 Konstruktionen gegeben. Für den Punkt 1/3 wird allerdings, strenge genommen, nicht nachgewiesen, daß er seiner Zahlbezeichnung entspricht, d. h.daß eine harmonische Punktfolge, die den Punkt 0 zum ersten und diesen Punkt 1/3 zum zweiten Punkt hat, als vierten Punkt wieder den alten Punkt 1 erhält. Setzt man aber die Tatsache voraus, daß ein Punkt 1/3 existiert, der eine harmonische Punktfolge der eben genannten Eigenschaft hervorbringt, so kann man die aus ihm sich ergebende Punktfolge 0, 1/3, 2/3, 3/3, 4/3,... an Stelle der ursprünglichen Skala 0, 1, 2,... setzen und nun mit Hilfe der Tatsache, daß jene anderen Kreuzungspunkte sich in Geraden anordnen, beweisen, daß der Punkt 1/3 sich wirklich durch die von Klein beschriebene Konstruktion ergeben muß, womit dann auch die Eindeutigkeit der Teilung bewiesen ist. Die Betrachtung wäre dann noch auf die allgemeinen-Teilung auszudehnen.
Vergl. auch de Paolis a. a. O., p. 496, Nr. 27.
Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen, 1872, S. 18.
Vergl. S. 166, erste Anm.
Vergl. Killing, Einführung in die Grundlagen der Geometrie, 1. Bd., 1893, S. 113 unten. In der Tat ist dies derselbe Beweis. Killing bezeichnet drei Punkte mit 0, 1, ∞ und zeigt, daß die Punkte, die dann die Zahlen 1, 1/2, 1/4, 1/8, ..., 1/2ν,... erhalten, den Punkt 0 zum Grenzpunkt haben; vertauscht man aber die Punkte 0 und ∞, so erhalten die genannten Punkte die Zahlen 1, 2, 4, 8,..., 2ν,..., und ihr Grenzpunkt heißt jetzt ∞. Die bewiesene Tatsache bedeutet also dasselbe, wie daß die Punkte 1, 2, 4, 8, 16,... oder, was wegen der bekannten Anordnungsverhältnisse (vergl. § 16) wiederum gleichbedeutend ist, daß die Punkte 1, 2, 3, 4, 5,... den Punkt ∞ zum Grenzpunkt haben. Vergl. auch Clebsch-Lindemann, Vorlesungen über Geometrie, 2, Bd., 1. Teil, 1891, S. 436 und 446.
Wie schon oben gesagt worden ist, hat auch Pasch (a. a. O. S. 125, 126) einen Beweis des Satzes vom Fluchtpunkt angegeben, der auf dem Stetigkeitsaxiom beruht; dabei benutzt Pasch seinen Begriff der Äquivalenz von Strecken (a. a. O., S. 121–123), der sich aus den projektiv gefaßten Axiomen der Verknüpfung und Anordnung des Raumes ableiten läßt, über dessen Eigenschaften wir aber im Zusammenhang der vorliegenden Arbeit an dieser Stelle nicht verfügen. Pasch nennt zwei StreckenAB undA′B′ dann äquivalent, wenn in bezug auf den gewählten Fluchtpunkt (Grenzpunkt) der harmonische Mittelpunkt vonA undB′ mit dem harmonischen Mittelpunkt vonA′ undB zusammenfällt Diesen Äquivalenzbegriff benutzt auch Balser (Mathematische Annalen Bd. 55, S. 296 ff.).
Balser (a. a. O. S. 299) konnte das Resultat mit Hilfe des Paschschen Begriffs der Streckenäquivalenz (vergl. die Anm. S. 199) aufjede belrebige StreckeM N übertragen. Dagegen sind die Entwicklungen von Killing (a. a. O. S. 113) und Lindemann (a. a. O. S. 446) insofern unvollständig, als sie die Tatsache, daß ein dyadisch harmonisches Punktsystem in jeder Strecke Punkte besitzt, mit einem bloßen Hinweis auf den Satz vom Fluchtpunkt erledigen.
Hinsichtlich des Begriffs „überalldicht” vergl G. Cantor, Mathematische Annalen Bd. 15, S. 2.
Vahlen nennt (Abstrakte Geometrie, 1905, S. 9) eine solche Punktmenge mit Beziehung auf die Gesamtheit der Punkte der Geraden „relativ dicht” und nennt eine Punktmenge schon dann „dicht”, wenn nur in jeder Strecke, deren Endpunkte durch Punkteder Menge gebildet werden, mindestens ein Punkt der Menge vorkommt.
Mathematische Annalen Bd. 7, S. 535: „SiA etB divisent harmoniquementC D, A etB restant fixes,C etD ne pourront se mouvoir que dans des sens inverses entre eux; mais siA etC restent fixes,B etD ne pourront se mouvoir que dans le même sens.”
a. a. O. S. 534. Daß der ursprüngliche v. Staudtsche Beweis des Fundamentalsatzes der projektiven Geometrie eine Lücke besitzt, und deshalb das Stetigkeitsaxiom oder etwas Ähnliches herangezogen werden muß, hat Klein bereits im 6. Band der Mathematischen Annalen (1873), S. 140 bemerkt.
Eine andere Modifikation des Zeuthen-Lürothschen Beweises findet sich bei de Paolis a. a. O. p. 492. Balser hat a. a. O., wie schon bemerkt wurde, gezeigt, daß die Tatsache der Dichtigkeit des allgemeinen harmonischen Punktsystems mit Hilfe des Paschschen Begriffs der Streckenäquivalenz aus dem Satz vom Fluchtpunkt abgeleitet werden kann. Daraus, wie die Äquivalenz von Pasch in der Ebene begründet wird (Vorlesungen über Neuere Geometrie, 1882, S. 121–123), ergibt sich nun, daß man mit Hilfe der Tatsachen der Verknüpfung und Anordnung der Ebene und des Desarguesschen Satzes von den perspektivischen Dreiecken, welche Tatsachen alle in projektiver Formulierung zu denken sind, aus dem Satz vom Fluchtpunkt (d. h. dem projektiv gefaßten archimedischen Axiom) die Tatsache der Dichtigkeit des allgemeinen harmonischen Punktsystems ableiten kann. Man vergl. hierzu noch den letzten Paragraphen (§ 37) dieser Arbeit.
Die Entwicklungen von § 16 bis 18 sind denen analog, die Hilbert in § 30 bis 37 der Arbeit gegeben hat, in der nach dem Vorgang von Lie die Geometrie aus Bewegungsaxiomen aufgebaut wird (Math. Annalen Bd. 56, S. 414 ff.). Unserem harmonischen Mittelpunkt entspricht bei Hilbert ein gewöhnlicher Mittelpunkt, der durch eine “Halbdrehung” (a. a. O. § 23) definiert wird. Der Satz 39) unseres Textes entspricht dem Satz von § 31 bei Hilbert: „Durch eine Halbdrehung um den zur Zahla gehörigen Punkt geht jeder Punktx in den Punkt 2a−x über.” Dabei bedeutena undx dyadische Zahlen. Ist speziella=2, undx=1, so heißt dies, daß der Punkt 1 durch Halbdrehung um 2 in 3 übergeht. Da nun Hilbert (§ 30) den Punkt −1 aus +1 durch Halbrehung um 0, dann 2 und 3 durch Halbdrehung um 1 aus 0, beziehungsweise −1 entstehen läßt, so ist damit die Tatsache ausgesagt, daß von den Punkten −1, 0, +1, 2, 3 der Punkt 2 Mittelpunkt von 1 und 3 sein muß, wenn 0 Mittelpunkt ist von −1 und +1, und 1 der Mittelpunkt ist gleichzeitig von 0 und 2 und von −1 und 3. Das entspricht aber einem Spezialfall unseres Satzes 11), der als Fundamentalsatz von den Mittelpunkten angesehen werden kann, und den wir hier unmittelbar aus dem Postulat VI, d. h. dem Schließungssatz. gezogen haben. Bei Hilbert ist die genannte Tatsache durch den Umstand begründet gedacht, daß die sämtlichen möglichen Bewegungen im Raum eine Gruppe ausmachen. In der Tat läßt sich auch daraus allgemein der Satz von den Mittelpunkten ableiten. Man nehme zu diesem Zwecke die PunkteA 3 A 2 A 1 A 0 A 1′A 2′A 3′ so an, daßA 0 gleichzeitig vonA 1 undA 1′, vonA 2 undA 2′ und vonA 3 undA 3′ der Mittelpunkt, undA 2 der vonA 3 undA 1 ist. Wenn numH 0 undH 2 die Halbdrehungen (Hilbert § 23) umA 0, beziehungsweiseA 2 bedeuten, und man die DrehungenH 0,H 2,H 0 hintereinander ausführt, so werden die PunkteA 1′A 2′A 3′ zuerst inA 1 A 2 A 3, dann inA 3 A 2 A 1 und schließlich inA 3′A 2′A 1′ übergeführt. Da nun die Bewegungen eine Gruppe bilden, und infolgedessen auch eine solche Bewegung existieren muß, die durch das ProduktH 0 H 2 H 0 der drei Halbdrehungen vorgestellt ist, da diese Bewegung wegung fernerA 2′ ungeändert läßt undA 1′ undA 3′ miteinander vertauscht, so liegt damit eine Halbdrehung vor, und es istA 2′ der Mittelpunkt vonA 1′ undA 3′ (Hilbert, § 23 und 24). Auf der Hilbertschen Grundlage gilt die letzte Betrachtung auch dann, wenn die Punkte nicht alle auf einer Geraden liegen.
Lindemann (Vorlesungen über Geometrie, unter besonderer Benutzung der Vorträge von Clebsch, 2. Bd., 1. Teil, 1891, S. 441) geht gleich nach der Einführung der dyadischen Punkte zu der Formelx=px′+q über, die die neue Zahlx′ eines Punktes mit der alten Zahlx desselben Punktes verknüpft, falls die Punkte 0 und 1 an diejenigen Stellen verlegt worden sind, denen zuerst die Zahlenq undp+q zukommen. Dabei bedeutenp, q undx′ dyadische Zahlen. Es ist aber zu bemerken. daß auch unter dieser Einschränkung der Beweis der erwähnten Formel den Satz 28) unseres Textes fürjede Zahll, nicht nur für 2 und seine Potenzen voraussetzt. Ist z. B.q=0, undp=3, so wird die Formel zux=3x′ und besagt unter anderem, daß, nachdem der alte Punkt 3 zum Punkt 1 gemacht worden ist, die früheren Punkte ..., −6, −3, 0, 3, 6,... die Zahlen..., −2, −1, 0, 1, 2,... erhalten, und dies heißt eben, daß die früheren Punkte..., −6, −3, 0, 3, 6,... eine harmonische Folge bilden. Das ist aber der Satz 28) fürl=3.
Killing (Einführung in die Grundlagen der Geometrie 1. Bd., S. 107) knüpft die Definition des Doppelverhältnisses gleich an die Bestimmung der ganzzahligen und der dyadischen Punkte an. Seine Definition hat im Grund denselben Sinn wie die von uns im Text gegebene. Es folgt aus ihr, da bei Killing unser Satz 28) zur Verfügung steht, ohne Voraussetzung der Tatsache der Dichtigkeit, daß die formel (P ∞ P α P 0 P αν)=ν gültig ist,falls α und ν dyadische Zahlen vorstellen. Dies bedeutet, daß der Punkt, der zuerst die Zahl αν erhalten hatte, die neue Zahl ν bekommt, wenn der Punkt α zum Punkt 1 gemacht wird, d. h. daß die hier auf S. 206 Anm. angeführte Formelx=px′+q fürq=0 und für ein dyadischesp undx′ richtig ist. Killing, der übrigens die Punkte im Doppelverhältnis anders ordnet, führt den Beweis der Formel (P ∞ P α P 0 P αν)=ν allerdings nur für ganzzahlige α und ν aus (S. 110 h)). Nachden die Formel für dyadische Zahlen gezeigt ist, wäre auch der Übergang zu beliebigen Zahlgrößen strenger durchzuführen, wobei unser Hilfssatz 31) benutzt werden kann. Nachher, wenn die Formel allgemein bewiesen ist, ergibt sich, wenn man über die Tatsachen der Ebene verfügt, nach der Anordnung von Killing die die Vertauschung der PunkteP 0 undP ∞ betreffende Relation daraus, daß sich die PunkteP ∞ P α P 0 P β durch mehrfaches Projizieren beziehungsweise inP 0 P \ P ∞ P α überführen lassen (a. a. O. S. 115).
Vergl. § 8 der vorliegenden Arbeit.
Vergl. § 21.
Diese Betrachtung ist mit Nr. 34 von de Paolis (a. a. O. vergl. die Bemerkung von Fano im Giornale di Matematiche vol. XXX, p. 499) analog.
Diese Formel, die sich auf die Änderung der Punkte 0 und 1 bei gleich bleibendem Punkt ∞ bezieht, ersetzt die von M Pasch in seinen Vorlesungen über neuere Geometrie (1882), S. 164 ff. gegebene Theorie der “Indizes” (Doppelverhältnisse) für den Fall, daß das “Grenzelement”, d. h. der Fluchtpunkt, derselbe bleibt. Pasch benutzt dabei den von ihm eingeführten, auf die Tatsachen der Ebene gegründeten Begriff äquivalenter Strecken (vergl. S. 199 Anm. der vorliegenden Arbeit). Es ist zu bemerken, daß man auf Grund dieses Begriffs auch die irrationalen Punkte der Skala von Anfang an mit einbeziehen kann, indem die Strecken der Geraden mit Rücksicht auf den Äquivalenzbegriff und auf die Anordnungstatsachen der Punkte in bezung auf einen gegebenen Fluchtpunkt die Größenaxiome erfüllen, d. h. sich als sogenannte “meßbare Größen” erweisen (vergl. hier. S. 163, letzte Anm.).
Die Formel 98) wird in den Arbeiten, die von den Tatsachen der Ebene ausgehen, meist auf den Umstand gegründet, daß vier PunkteABCD einer Geraden indirekt inBADC projiziert werden können (vergl. Amodeo, Atti d. R. Accad. d. Scienze di Torino vol. XXVI, p. 759, Pasch, a. a. O. S. 171, Killing, Einführung in die Grundlagen der Geometrie, I. Bd., 1893, S. 115). Bei Klein (Vorlesungen über nichteuklidische Geometrie I, 1893, S. 343) ist für den Punkt 1/3 eine Konstruktion gegeben, die, wenn sie nach Vertauschung der Punkte 0 und ∞ angewendet wird, unmittelbar den früheren Punkt 3 ergibt.
Vergl. S. 207, zweite Anm.
Vergl. § 15 und den Schluß von § 16.
Vergl. die ausführliche analoge Darlegung in § 17.
Man vergl. auch § 37 im vierten Abschnitt.
Die Formel 112) hätte natürlich auch in diesem Abschnitt in einer dem Verfahren des zweiten Abschnitts (vergl. § 18 und § 19) entsprechenden Weise allgemein bewiesen werden können.
Vergl. Dedekind in den von ihm herausgegebenen Vorlesungen Lejeune-Dirichlets über Zahlentheorie (2. Aufl.) § 159.
Vergl. § 14 und § 33, S. 239 oben, ferner S. 247.
Dies ist die v. Staudtsche Definition (Geometrie der Lage, 1847, S. 49). Handelt es sich um Untersuchungen in der Ebene, so ist zunächst der v. Staudtsche Begriff der Projektivität von dem Begriff einer durch mehrmaliges Projizieren hergestellten Zuordnung zu trennen. Hier ist überhaupt nur die v. Staudtsche Definition möglich.
Der Fundamentalsatz ist für allgemeine harmonische Punktsysteme zuerst von Fano (Giornale di Matematiche, vol. XXX, p. 129 Anm.) ausgesprochen worden. Fano hat den Satz aber nicht in derselben Allgemeinheit bewiesen, in der er hier gezeigt wird. Um nämlich den negativen Teil des Satzes nicht bloß für den Fall zu beweisen, daß die PunkteA, B, C unseres Textes mit denjenigen zusammenfallen, aus denen ursprünglich das erste SystemS gebildet worden war, und die PunkteA′,B′,C′ mit denen, aus denenS′ ursprünglich gebildet war, muß man vorher unseren Satz 99) zeigen. Der positive Teil des Fundamentalsatzes (s. u.) folgt dann bei Fano daraus, daß ihm die Tatsachen der Ebene zur Verfügung stehen.
Diese Tatsache ist so wie auf S. 247 gemeint. Es ist zu bemerken, daß die Tatsache der Dichtigkeit besteht, wenn man die Postulate I bis VI voraussetzt und zugleich annimmt, daß auf der Geraden nur die Punkte eines allgemeinen harmonischen Punktsystems existieren. Es folgt dies mit Rücksicht auf 99) und 101) daraus, daß zwischen je zwei rationalen Zahlen wieder eine solche gefunden werden kann (man vergl. auch S. 248 oben).
Dies ist eben das von Darboux in den Math. Annalen Bd. 17, S. 55 erhaltene Resultat.
Vergl. auch Balser, Mathematische Annalen Bd. 55, S. 293ff., insbesondere Nr. IV.
Zu analogen Frage wird man in einer ebenen oder räumlichen Geometrie geführt, wenn man voneinem ebenen, beziehungsweise räumlichen Möbiusschen Netz (Möbius, Werke 1. Bd. 1885, S. 243 und 258) annimmt, daß es in der Ebene, beziehungsweise im Raum “überalldicht” ist. Man vergl. die hiermit in Beziehung stehenden Betrachtungen von Vahlen, Abstrakte Geometrie 1905, II, Art. 46, III, Art. 22, 25, 26, 33, 39, wobei übrigens bei Vahlen die Definitionen des Netzes und der Dichtigkeit von den gewöhnlichen etwas abweichen.
Daß in der Tat Mannigfaltigkeiten von Elementen gegeben werden können, welche die bezeichneten Verhältnisse aufweisen, erkennt man, wenn man die rationalen Funktionen eines Parameterst mit rationalen Koeffizienten als Elemente zugrunde legt. Die harmonische Lage soll dabei durch die Relation 113), und die auf den eigentlichen Punkt ∞ sich beziehende Ordnung der Elemente durch die Vorzeichen definiert werden, welche die Differenzen der die Elemente vorstellenden Funktionen für hinreichend große reelle positive Werte vont bekommen. Man könnte auch nach dem Vorgang von Veronese, der zuerst “nichtarchimedische Zahlen” in die Geometrie emgeführt hat, eine Mannigfaltigkeit von unendlichen Reihen zugrunde legen, die nach Potenzen eines Parameters fortschreiten (vergl. Schoenflies, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 1906, S. 26).
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Hölder, O. Die Zahlenskala auf der projektiven Geraden und die independente Geometrie dieser Geraden. Math. Ann. 65, 161–260 (1908). https://doi.org/10.1007/BF01449998
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