This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
References
W. Ritz, Oeuvres Nr. XV, XVI, XVII, insbesondere Crelles Journal135 (1908), S. 1–61, Ann. der Phys.28 (1909), S. 737–786.
Courant, Math. Zeitschr.7 (1920), S.1–57. “Über die Eigenwerte bei den Differentialgleichungen der math. Physik”.
Die Voraussetzung der Rektifizierbarkeit ist wesentlich weiter als die Voraussetzungen, unter denen bisher die Frage in der Literatur explizite ihre Erledigung gefunden hat; der Leser wird übrigens bemerken, daß selbst diese Voraussetzung außer in § 6 für alle Schlüsse in dieser Arbeit bedeutungslos bleibt.
Dieh-te der nach wachsender Größe geordneten Wurzeln von (14) ist gleich dem größten Werte, welchen das Minimum von (12) annehmen kann, wenn für diac i außer (11) nochh−1 lineare homogene Nebenbedingungen gestellt werden. Vgl. E. Fischer, Monatshefte für Math. und Phys.16, S. 245; Conrant, loc. cit. 2), S. 19.
Die Voraussetzung der Ánalytizität ist nicht wesentlich; sie wird nur aus Bequemlichkeitsgründen gemacht.
Stückweise stetig soll eine. Funktion inG heißen, wenn ihre Stetigkeit im Inneren vonG nur an endlich vielen analytischen Linienstücken Unterbrechungen erleiden darf. Es würde übrigens an den Betrachtungen der Arbeit nichts Indern, wenn wir durchweg Stetigkeit der Ableitungen von den Funktionen ϕ verlangten, da man ohne Schwierigkeit Funktionen mit nur stückweise stetigen Ableitungen derart durch solche mit durchweg stetigen approximieren kann, daß dabei die Bedingungen des Variationsproblemes unverletzt bleiben und auch der Charakter einer Funktionsfolge als Minimalfolge erhalten wird Vgl. loc. cit. 2), S. 52 ff.
Die Möglichkeit einer solchen Approximation ergibt sich durch ganz analoge Betrachtungen wie die in Ann. 7) zitierten. Vgl. auch die Betrachtungen in Kap. IV, S. 323, wo die Überlegung durchgeführt wird.
Normiert soll eine Funktion Ψ heißen, wennH[Ψ]=1 ist.
Vg. loc. cit. Per un canale di profondità finita, si arriva invece ad una equazione mista (cioè insieme differenziale e alle differenze finite). Cfr. “Sulle onde progressive di tipo permanente”, Rend. della R. Acc. dei Lincei (5)16 (2° semestre, 1907),S. 33.
Die Bezeichnungn i ist in dieser Arbeit so zu verstehen, daßn i irgendeine positive ganzzablige Funktion vonn ist.
Die Bezeichnung Dimensionszahl soll auf die Analogie zu den Verhältnissen bei Folgen von Vektoren in einem endlich-viel-dimensionalen Raume hinweisen.
Will man den Abbildungssatz aus der Theorie der konformen. Abbildung nicht benutzen, so schließt man am besten und ohne jede Schwierighkeit mit ganz ähnlieben Überlegungen, wie sie beim Beweise von Hilfssatz 3 verwendet werden. Eine Übertragung auf mehr unabhängige Variable macht dann keine neuen Schwierigkeiten.
Durch bessere Ausnutzung der Beziehung (38) ließe sich das Resultat noch verschärfen, bzw. von der Voraussetzung der Rektifizierbarkeit der Randkurve befrsien; jedoch braucht hierauf nicht eingegangen zu werden.
Die Bedingung (45) ist übrigens eine Folge der Bedingung (45a), wie sich leicht aus den vorangehenden Entwicklungen ergibt.
Vgl. etwa Riemann-Weber, Partielle Differentialgleichungen der Physik. 2. Band, S. 282.
Dies ergibt sich unmittelbar aus der GleichungJ(0)=1.
Vgl. etwa loc. cit. Riemann-Weber, Partielle Differentialgleichungen der Physik. 2. Band, S. 280.
Man könnte statt der Rechtecke ebensogut etwa Kreise betrachten und in den späteren Überlegungen zugrunde legen.
Vgl. etwa Hadamard, Bull. Soc. math. France34 (1906), oder Courant, Journal f. Math.144 (1914), S. 190 ff.
Die Möglichkeit, aus einer Folge von Stellen mit beschränkter Quadratsumme der Koordinaten eine “konvergente Punktfolge” auszuwählen, bildet den Inhalt des ohne weiteres auf unseren Fall übertragbaren Weierstraßschen Häufungsstellensatzes. Vgl. die üblichen Darstellungen in der Theorie der quadratischen Funktionen von unendlich vielen Variablen.
Vgl. Loc. cit. W. Ritz, Oeuvres Nr. XV, XVI, XVII, Insbesondere Crelles Journal 135 (1908).
Man vergleiche zu diesem Satze eine schon am 15. 12. 1919 vorgelegte Note von M. Plancherel in den Comptes Rendus, wo ohne Beweis ein ganz analoges Resultat autgesprochen wird; die Formulierung bei Herrn Plancherel scheint mir übrigens im Falle mehrfucher Eigenwerte eine kleine Ungenauigkeit zu enthalten.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Courant, R. Über die Lösungen der Differentialgleichungen der Physik. Math. Ann. 85, 280–325 (1922). https://doi.org/10.1007/BF01449628
Received:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF01449628