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Zur Theorie der Gesellschaftsspiele

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Literatur

  1. Es ist das Haptproblem der klasischen Nationalökonomie: was wird, unter gegebenen äußeren Umständen, der absolut egoistische “homo œconomicus” tun?

  2. Die Identitätf 1+f 2+...+f nэ0 drückt aus, daß die Spieler nur aneinander Zahlungen leisten, die Gesamthiet aber weder gewinnt noch verliert.

  3. Die bekannten Einwände gegen den Erwartungswert (die seine Ersetzung durch die sog. moralishe Hoffnung u. ä. erstreben), wollen wir unberücksichtigt lassen: es sind andere Schwierigkeiten, die den Gegenstand unserer Betrachtungen bilden.

  4. Er hat es auch nicht nötig, denn auf Grund der Spielregeln gewinnt er pro Partie 2.70% nach dem Umsatz.

  5. Wie man auf Grund der vorhergehenden Fußnote vermuten wird, ist das in diesem Falle eindeutig zu erzielende Resultat für das Verhalten der Pointeurs ein recht triviales: sie müssen möglichst den Umsatz 0 haben, je näher sie ihm kommen, desto besser!

  6. Auch “Verbrecher-Bakkarat” oder “Knobeln” genannt. In der üblichen Formulierung heißen 1, 2, 3 “Papier”, “Stein”, “Schere” (“Papier verdeckt den Stein, Stein schleift die Schere, Schere schneidet das Papier”).

  7. Dabei ist Max Min = Min Max benützt worden, d. h. unser relativ tiefer Satz über Bilinearformen. Trivial, d. h. aus Max Min≦Min Max, folgt hier offenbar nur Max Min≦0, Min Max≧0. Während der endgültigen Abfassung dieser Arbeit wurde mir die Note von Herrn E. Borel in den Comptes rendus vom 10. Jan. 1927 (Sur les systèmes de formes linéares ... et la théorie du jeu, S. 52–55) bekannt. Borel formuliert die auf Bilinearformen bezügliche Frage für ein symmetrisches 2-Personen-Spiel und stellt fest, daß keine Beispiele für Max Min<Min Max bekannt sind. Unser vorstehendes Resultat beantwortet seine Fragestellung.

  8. Wir wollen den Beweis fürK′(ξ) skizzieren, für die drei anderen Funktionen geht er ebenso. WennK′(ξ)=0 ist, ist die Behauptung trivial, da stetsK′(ζ)≧0 ist; es sei alsoK′(ξ)>0. Für 0≦η≦K′(ξ)−ε (ε>0) ist stetsf(ξ, η)≠Minη f(ξ, η), und daf(ξ, η) stetig ist,f(ξ, ν)≦Minη f(ξ, η)−δ (für ein geeignetes δ>0). Wenn also ζ genügend nahe bei ξ liegt, so ist noch immerf(ζ, η)≦Minη f(ζ, η)−1/2δ (weil sowohlf(ζ, η) als auch Minη f(ζ, ν) stetig ist); d. h.f(ζ, η) nimmt sein Minimum (in η, für 0≦η≦b) in 0≦η≦K′(ξ)−ε nirgends an. Also mußK(ζ)≧K(ξ)−ε. Das ist aber gerade die behauptete Halbstetigkeit nach unten.

  9. Man sieht hieran, daß unser Beispiel alles andere als ein Fall von „Pathologie” von Spielen ist: es ist vielmehr ein in praxi recht, häufiger und charakteristischer Fall. Im Einklang damit werden wir in IV, 3. und V, 1. sehen, daß es sogar der allgemeine Fall des 3-Personen-Spieles ist.

  10. Inhaltlich ist dies ohne weiteres klar:S 2 undS 3 können in Koalition gegenS 1 bestenfallsM 2, 3 erzwingen, alsoS 1 für sich allein (gegen alle) bestenfalls −M 2, 3 (wegen unseres Satzes über das 2-Personen-Spiel); ebenso kannS 2 für sich allein bestenfalls −M 1, 3 erzwingen. Koaliert können aberS 1 undS 2 bestenfallsM 1, 2 erzwingen; „l'union fait la force”, d. h. −M 2, 3M 1, 3M 1, 2,M 1, 2+M 1, 3+M 2, 3≧0.

  11. Es ist übrigensv 1=−M 2, 3+1/3D,v 2=−M 1, 3+1/3D,v 3=−M 1, 2+1/3D.

  12. Inhaltlich ist diese Behauptung ebenso klar, wie die in Fußnote12) S. 313 betrachtete.

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Der Inhalt dieser Arbeit ist (mit einigen Kützungen) am 7. XII. 1926 der Göttinger Math. Ges. vorgetragen worden.

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v. Neumann, J. Zur Theorie der Gesellschaftsspiele. Math. Ann. 100, 295–320 (1928). https://doi.org/10.1007/BF01448847

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