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References
Die Steinitzsche Arbeit soll in Zukunft abgekürzt mit St. bezeichnet werden.
Da die beiden Arbeiten bis auf einen für uns hier unwesentlichen Teil übereinstimmen, soll in Zukunft nur die zweite, und zwar abgekürzt mit F. II zitiert werden. Mit F. I bezeichnen wir abgekürzt die ebenfalls von Herrn Fränkel stammende Arbeit: “Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen” (Journal f. Math. 145. S. 139–176).
Diese Beweismethode besitzt gewisse Änlichkeit mit einer Schlußweise, die von Herrn Hensel in seiner Theorie derp adischen Zahlen vielfach verwandt wird. Der Grund für diese Tatsache, sowie für verschiedene überraschende Übereinstimmungen zwischen der hier gegebenen Theorie und derjenigen derp adischen Zahlenliegt darin, daß die p adischen Zahlen aus dem Ringe der Restklassen nach einer Primzahlpotenz, also aus einem Spezialfall der von uns betrachteten Ringe durch eine gewisse Art von Grenzübergang. (ϱ=∞) hervorgehen.
Diese Arbeit wird im folgenden mit N. zitiert. Die Sätze von Frl. Noether lassen sich nicht unmittelbar auf den vorliegenden Fall übertragen, weil uns die in der Noetherschen Arbeit gemachten Basisvoraussetzungen fehlen.
BesitztR 1 und mithin auchR 2 ein Einheitselement, so genügt es, das Entsprechen vona+b unda′+b′ zu fordern.
Vgl. hierzu die ausführlichen Darstellungen bei F. I, § 1 und F. II, S. 121 bis. 166, § 1, sowie das dort zitierte Lehrbuch von Herrn Loewy.—Die im Text angegebenen Axiome 1–5 sind übrigens nicht alle unabhängig; die hier gegebene Formulierung wurde aus Bequemlichkeitsgründen gewählt.
Der Buchstabe r. bedeutet hier, wie immer im folgenden, eine Einheit.
Die Bezeichnung ist hier genau umgekehrt wie bei F. II, S. 133. Diese Umkehrung schien vorteilhaft, weil die hier als Grad definierte Zahl genau die analoge Bedeutung besitzt, wie der Grad einer ganzen rationalen Funktion in der Körpertheorie.
Vgl. F. II, S. 134.
Vgl. hierzd F. II, S. 138–144.
Vgl. hierzu F. II, S. 135 ff.
Vgl. F. II, S. 135.
Istf(x) eine Nullteilerfunktion una aurg(x) regulär, so erhalten wir durch Anwendung des eben beschriebenen Divisionsverfahrens stets nur eine Gleichung, aus der wir mur die triviale Tatsache ablesen können, daß eine Nullteilerfunktion zu einer Funktion positiven Grades nie teilerfremd ist.
Die Bezeichnung ist aus Zweckmäßigkeitsgründen wiederum etwas anders gewählt als bei F. II, S. 138.
Besitzen nämlich die beiden Primfunktioneng 1(x) undg 2(x) verschiedenen Grad, so sind sie eicher teilerfremd. Im andern Falle hat mang 1(α)=e(x)·g 2(x)+h(x) und, je naohdemh(x) eine Nullteilerfunktion oder regulär und mithin zug 2(x) teilerfremd ist, sindg 1(x) undg 2(x) verwandt oder teilerfremd.
Nimmt man z. B. als Grundbereich die Restklassen mod 8, so ist die zur Primfunktionx gehörige Primärfunktionx 2−2 irreduzibel.
Vgl. hierzu N., S: 51, Satz 14.
Vgl. hierzu N., § 8, wo die entsprechenden Sätze für teilerfremde Ideale ausgesprochen sind.
D. b. ein vont unabhängiges, also gleichzeitig dem BereicheR und dem BereicheR 1 angehöriges Element.
St. § 6, S. 192–198.
Die im folgenden benutzten, aus der Mengeniehre stammenden Begriffe sind kurz formuliert St. § 13, S. 267–271. Über den Wohlordnungssatz vgl. Zermelo, Math. Annalen 59 (1904) S. 514.
Vgl. hierzu St. § 11, S. 218.
Im folgenden soll unter Erweiterung immer eine reguläre algebraische Erweiterung verstanden werden.
Vgl. zu dem ganz entsprechenden Satz bei Körpern z. B. St., S. 200.
Vgl. St., S. 2201. sowie S. 248.
Vgl. hierzu St., S. 220, 236f.
Vgl. St., S. 203.
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Als Habilitationsschrift vorgelegt der mathematisch-naturwissenschaftlichen Fakultät der Universität Freiburg i. B.
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Krull, W. Algebraische Theorie der Ringe. I. Math. Ann. 88, 80–122 (1922). https://doi.org/10.1007/BF01448442
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