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Numerical analysis and control of some biochemical systems

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Les systèmes à enzymes immobilisées sont des systèmes où des enzymes (catalyseurs de réactions biochimiques) sont distribués à l'intérieur d'une membrane artificielle. Ils sont gouvernés par le couplage entre diffusion et réaction et l'équation typique décrivant un tel système est∂s/∂t−∂ 2s/∂x2+σs/(1+s) = 0, s = s(x,t) étant la concentration du substrat.

Dans une première partie sont décrits plusieurs systèmes enzymatiques, ainsi que leurs équations (aux dérivées partielles).

Une seconde partie est consacrée aux méthodes mathématiques utilisées pour démontrer l'existence et l'unicité d'une solution pour ces équations.

Dans la troisième partie sont données les méthodes numériques utilisées pour obtenir une solution approchée.

La dernière partie traite de problèmes de contrôle en boucle ouverte dans ces systèmes biochimiques.

L'existence d'un contrôle optimal est démontrée, le gradient de la fonction coût est trouvé en utilisant l'état adjoint et l'algorithme de “steepest descent” est utilisé.

Abstract

Immobilized enzyme systems are systems where enzyme(s) (catalyst(s) of biochemical reaction(s)) is (are) distributed inside an artificial membrane. They are governed by the coupling between diffusion and reaction, and the typical equation describing such a system is∂s/∂t−∂ 2s/∂x2+σs/(1+s) = 0, s = s(x,t) denoting the substrate concentration.

In a first part are described several enzyme systems, together with their (partial differential) equations.

A second part is devoted to the mathematical methods used to prove existence and uniqueness of a solution for these equations.

In the third part, are given the numerical methods used to get an approximate solution.

The last part deals with some open loop control problems in these biochemical systems. Existence of an optimal control is proved, the cost function gradient is found using the adjoint state and the steepest descent algorithm is used.

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Authors and Affiliations

  1. Département de Mathématiques Appliquées, Université de Technologie de Compiègne, 60206, Compiegne, France

    J. P. Kernevez

  2. E.R.A. no. 338 du C.N.R.S. Département de Génie Biologique, Université de Technologie de Compiègne, 60206, Compiegne, France

    D. Thomas

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  1. J. P. Kernevez
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J.P.K. and D.T. are “conseillers scientifiques” in the I.R.I.A. Domaine de Voluceau Rocquencourt—78 France.

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Kernevez, J.P., Thomas, D. Numerical analysis and control of some biochemical systems. Appl Math Optim 1, 222–285 (1975). https://doi.org/10.1007/BF01448182

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