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Zur Integration der Potentialgleichung vermittelstC. Neumann's Methode des arithmetischen Mittels

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  1. Wir verstehen unter dieser Bezeichnung eine FunctionU, welche in dem betreffenden Bereiche den bekannten Potentialbedingungen genügt, d. h. nebst ihren Differenzialquotienten stetig ist und der Laplace'schen Gleichung ΔU=0 Genüge leistet. — Wegen der genaneren Definition vergleiche weiter unten § 3, pag. 13.

  2. Die einschlägigen Arbeiten vonC. Neumann findet man niedergelegt in seinen “Untersuchungen über das logarithmische und Newton'sche Potential” (Leipzig bei Teubner 1877) und in der ersten Abhandlung “Ueber die Methode des, aritly metischen Mittels” in den Abhandlungen der Kgl. Sächs. Gesellschaft d. Wiss. Bd. XIII. (Leipzig bei Hirzel 1887). — Diese beiden Werke, auf die ich mich öfters zu berusen habe, will ich immer kurz folgendermassen citiren: “C. N. Unters.” und “C. Naunch handl. I”.

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  3. La méthode deNeumann et le problème deDirichlet. Acta mathematica Bd. 20, 1897, pag. 59.

  4. Jahrgang 1896, pag. 191–198.

  5. Dieser Paragraph enthält eine blosse Zusammenstellung derjenigen Eigenschaften der Potentiale von Doppelbelegungen, von denen wir im Folgenden Gebrauch machen wollen. — Wegen des Beweises dieser Eigenschaften verweise ich aufC. Neumann's Unters. (vornehmlich Cap. 4, § 6 und § 9, pag. 135) und Abhandl. I, § 4, pag. 34.

  6. Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum.Gauss' ges. Werke, Bd. V, pag. 9, theorema quartum.

  7. Bei dieser Ausdrucksweise ist wiederum die scheinbare Grösse eines Elementesdσ von einem Punktep aus nicht absolut gerechnet gedacht, sondern positiv oder negativ, je nachdem ein inp gedachter Beobachter auf die innere oder äussere Seite vondσ hinblickt [vgl. pag. 7].

  8. Dieser Name dürfte sich darum einigermassen empfehlen, weil man die Grössen (dσ) p [vgl. (2) pag. 7], welche in der Function eine Hauptrolle spielen, stets geometrisch deuten kann als dieOeffnungen gewisser Winkel bezw. Kegel.

  9. H. A. Schwarz: “Zur Theorie der Abbildung”, sowie vor Allem: “Ueber die Integration der partiellen Differentialgleichung\(\frac{{\partial ^2 u}}{{\partial ^2 x^2 }} + \frac{{\partial ^2 u}}{{\partial ^2 y^2 }} = 0\) unter vorgeschriebenen Grenz- und Unstetigkeitsbedingungen”. Ges. mathem. Abhandlungen, Berlin 1890, Band II, pag. 108 bezw. 144.

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  10. H. Poincaré: “Sur les équations aux derivées partielles de la Physique mathématique”. Americ. Journal of Mathematics, Baltimore 1890, vol XII, pag. 211, daselbst § 1.

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  11. Zum ersten Male veröffentlicht ist diese Methode in den Berichten der Kgl. Sächs. Gesellsch. d. Wiss. 1870 [vgl. die Berichte über die Sitzungen vom 21. April und 31. Oktober 1870]. — Wegen der ausführlicheren Darstellungen, welche die Methode später durchC. Neumann gefunden hat, vgl. oben die Anmerkung pag. 1.

  12. Dass dies thatsächlich eine Erweiterung desNeumann'schen Criteriums ist, d. h. dass unter den Curven und Flächen, welche diese Bedingung erfüllen, die nirgend concaven als specielle Fälle enthalten sind, das soll weiter unten in § 6 näher ausgeführt werden [vgl. pag. 27].

  13. Wegen einer weiteren, besonders einfachen, Darstellungsform für die Oeffnungsfunction vgl. den Anfang von § 11, daselbst Formel (2) pag. 46.

  14. Der Fall der “Zweisternigkeit”, denC. Neumann noch besonders ausschliesst, kommt für uns nicht in Betracht, er ist bereits durch unsere Grundvoraussetzung ausgeschlossen, dass σ frei von Spitzen, bezw. Ecken und Kanten sei. [vgl. pag. 6.]

  15. Die Voraussetzung, dass die Functionf stetig sei, ist hier wieder nicht nothwendig [vgl pag. 37, die Schlussbemerkung von § 8]

  16. Der Beweis dieses Satzes beruht, um nur das anzugeben, im Wesentlichen auf derselben Schlussweise, wie wir sie oben in § 2 bei einer ähnlichen Untersuchung anwandten.—Im Uebrigen thut man gut daran, zunächst diePotentialfunctionV zu betrachten, die auf σ die Werthe ϕ besitzt, und welche sich mit Hilfe derGreen'schen Function darstellen lässt. Von dieserPotentialfunction V ist dann leicht der Uebergang zurFundamentalfunction Φ gemacht. [Wegen des Unterschiedes zwischen diesen beiden Gattungen von Functionen vgl. die Anmerkung pag. 13].

  17. Vgl. die Anmerkung pag. 10.

  18. Vgl.Pockels “Ueber die partielle Differentialgleichung Δu+k 2 u=0. Leipzig bei Teubner 1891, pag. 262.

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  1. Halle

    Ernst Richard Neumann

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  1. Ernst Richard Neumann
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Neumann, E.R. Zur Integration der Potentialgleichung vermittelstC. Neumann's Methode des arithmetischen Mittels. Math. Ann. 55, 1–52 (1901). https://doi.org/10.1007/BF01448115

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