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Literatur
Diese Untersuchungen gehen von einer mündlichen Bemerkung Brouwers aus daß diese Invarianz, die ich in meiner Abhandlung “Über stetige Abbildungen einer Kugelfläche” (Proc. Amsterdam29 (1926), S. 443–453) für die dort definierte Henkelzahl undn=0 beweise, auch für die von ihm (Math. Annalen72, S. 422–425) eingeführte Vielfachheit der Basis der Zyklosis gilt. Daß die Voraussetzungen über die Gesamturbilder zur Erzwingung der Invarianz der 0-ten bisn-ten Zusammenhangszahl naturgemäß sind, sieht man unmittelbar in jenen Fällen, wo eine Menge auf einen einzigen Punkt abgebildet wird. Daß die (n+1)-te Zusammenhangszahl größer werden kann, wenn die genannten Voraussetzungen nicht völlig erfüllt sind, sieht man, wenn man eine Kreisscheibe eindeutig stetig so auf eine Kugel abbildet, daß dem Randkreis a) ein (mit Ausnahme der Endpunkte) doppelt gelegter Bogen, b) ein Punkt entspricht, und die Abbildung sonst eineindeutig ist.
Diese Zusammenhangszahlen sind, abgesehen davon, daß wir sie um 1 kleiner nehmen, genau die von O. Veblen [An application of modular equations in analysis situs. Am. Trans.14 (1912), S. 86–94], O. Veblen und J. W. Alexander [Manifolds ofn dimensions. Am. Trans.14, S. 163–178], O. Veblen [Analysis situs. Cambridge Colloquium 1916] eingeführten. Wir haben nur die Definition derselben von der Darstellung durch Matrizes losgelöst. Sie können als die genaue Fassung der von Riemann, Fragment aus der Analysis Situs. Werke, S. 479–482 eingeführten Zusammenhangszahlen gelten.
Analysis situs. Journ. Ec. Pol. (2)1 (1895) und Compl. 1. Rendiconti Palermo13 (1899), S. 285–343.
Compl. 2. Proc. Lond. Math. Soc.32 (1901), S. 277–308; Compl. 5. Rend. Pal.18 (1904), S. 45–110.
Im Sinn von Tietze, Monatsh. f. Math. Phys.19 (1908), S. 62.
Diese Festsetzungen kommen darauf hinaus, zwei WegeA, B mit denselben Anfangs- und Endpunkten als äquivalent inC anzusehen, wenn es inC einen orientierten,einfach zusammenhängenden Komplex gibt, dessen RandB-A ist. Poincaré verlangt (Analysis situs, S. 62) bloß, daßB-A∼0 inC sei, was zu wenig ist und in Widerspruch zu seinem sonstigen Text steht.
Denselben Standpunkt nimmt P. Alexandroff (Zur. Begründung dern-dimensionalen mengentheoretischen Topologie, Math. Annalen94, S. 296–308) ein.
Dieser Begriff der ε-Abänderung ist für Zykel analog, für Wege (siehe weiter unten) übereinstimmend mit dem von Brouwer a. a. O. gegebenen.
Dabei verstehen wir die Zeichen ∼ und + für nicht orientierte Zykelmodulo 2.
Dieses Beispiel überschlägt der Leser zunächst am besten, um im Zusammenhang nicht gestört zu werden.
In Worten läßt sich dies so ausdrücken: Wir identifizieren die linke Hälfte der Menge der unteren Endpunkte gleichsinnig kongruent mit der “rechten oberen Hälfte”. Dann von den übrigbleibenden Endpunktmengen wieder die linke untere Hälfte gleichmäßig kongruent mit der rechten oberen usw.
Diese Invarianz gilt in nicht kompakten abgeschlossenen Mengen nicht.
Hausdorff, Grundzüge, S. 315.
Hausdorff, Grundzüge, S. 311.
Hausdorff, a. a. O. Grundzüge, S. 314, V.
Compt. Rend.162 (1916), S. 629.
Wollte man genaue Analoga zu-Poincaré's Bettischen Zahlen und den-Zusammenhangszahlen von Veblen und Alexander haben, so müßte man überall noch 1 addieren. Wir folgen aber in der Zählung lieber Schläfli, Klein, Dyck [vgl. die Zitate bei W. Dyck, Math. Ann.32 (1888), S. 483] und G. Mannoury, Nieuw Archief voor Wiskunde (2)3 (1898), S. 126–152.
Diese Begriffsbildung ist analog zu der von Brouwer a. a. O. eingeführten Basis der Zyklosis, welche sich in derselben Weise auf die Fundamentalgruppe bezieht, wie die oben definierten Vielfachheiten auf die Zusammenhangs- und Homologiegruppen.
Dasselbe Beispiel beantwortet ebenso die analoge Frage bezüglich der Vielfachheit der Fundamentalgruppe und der Vielfachheit der Brouwerschen Basis der Zyklosis in negativem Sinn.
Gesamturbild einer MengeM=Menge aller Urbilder aller Punkte vonM.
Dabei gilt natürlichy ik =y ki ,y ikl =y kil =ikl kli =...
Dabei ist natürlich jedesK n−1ikl... =K n−1jpq... =... in ebenso vielen Exemplaren zu denken, als es zufolge der Konstruktion verschiedene Bezeichnungen hat.
Die in Anm. 1 erwähnten beiden Sätze sind eindimensionale Analoga von (9).
Die analoge Behandlung der Fundamentalgruppe verschieben wir auf eine spätere Gelegenheit.
Die hier abgeleiteten Abbildungssätze lassen sich ebensogut als Sätze über oberhalb stetige Zerlegungen von kompakten abgeschlossenen Mengen auffassen. Über diesen Begriff, der von R. L. Moore [Proc. Nat. Ac.10 (1924), S. 356–360, Trans. Am. Math. Soc.27 (1925), S. 416–428] und P. Alexandroff [Proc. Amsterdam28, Nr. 10, Math. Annalen96, S. 555–571] eingeführt worden ist, bzw. unsere Terminologie, vgl. meine oben zitierte Arbeit Amst. Proc.29, S. 443.
R. E. Root, Am. Journ. Math.36 (1917), S. 90. SindA undB metrische Räume, so kann auch der Produktraum in einfachster Weise metrisiert werden. Vgl. Hausdorff, Mengenlehre 1926, S. 102.
Nach W. Hurewicz, Proc. Amsterdam29 (1926), S. 1014–1017.
Vgl. Hurewicz,a. a. O.29 (1926), S. 1015, Anm. 1.
Hierzu vgl. den Auszug aus meinem Vortrag auf der Naturforscherversammlung in Düsseldorf (1926), “Über den höheren Zusammenhang kompakter Räume” (Jhrsber. d. deutsch. Math. Ver.35, Heft 9-12), wo weitere Invarianten dieser Abbildungen aufgezeigt werden. (Zusatz bei der Korrektur.)
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Vietoris, L. Über den höheren Zusammenhang kompakter Räume und eine Klasse von zusammenhangstreuen Abbildungen. Math. Ann. 97, 454–472 (1927). https://doi.org/10.1007/BF01447877
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