A procedure for finding Nash equilibria in bi-matrix games

Abstract

In this paper we consider the computation of Nash equilibria for noncooperative bi-matrix games. The standard method for finding a Nash equilibrium in such a game is the Lemke-Howson method. That method operates by solving a related linear complementarity problem (LCP). However, the method may fail to reach certain equilibria because it can only start from a limited number of strategy vectors. The method we propose here finds an equilibrium by solving a related stationary point problem (SPP). Contrary to the Lemke-Howson method it can start from almost any strategy vector. Besides, the path of vectors along which the equilibrium is reached has an appealing game-theoretic interpretation. An important feature of the algorithm is that it finds a perfect equilibrium when at the start all actions are played with positive probability. Furthermore, we can in principle find all Nash equilibria by repeated application of the algorithm starting from different strategy vectors.

Zusammenfassung

In diesem Beitrag entwickeln wir ein neues Verfahren zur Berechnung eines Nash-Gleichgewichtspunktes für Zweimatrizen-Spiele. Das Standardverfahren zur Lösung dieser Spiele ist der Lemke-Howson Algorithmus. Dieses Pivotverfahren löst ein lineares Komplementaritätsproblem. Da dieses Verfahren nur in einer beschränkten Anzahl Punkte beginnen kann, können nicht alle Gleichgewichtspunkte berechnet werden.

Unser Verfahren löst ein stationäres Punktproblem definiert auf die Strategiemenge und darf in einem beliebigen Punkt angefangen werden. Der Weg der Punkte des Algorithmus hat eine einladende spieltheoretische Interpretation. Wenn im Startpunkt alle Strategien mit positiver Wahrscheinlichkeit gewählt werden, dann ist das gefundene Nash-Gleichgewicht perfekt. Auch dürfen alle Gleichgewichtspunkte berechnet werden durch mehrere Startpunkte zu wählen.