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Normes et algorithmes associés à une découpe de matrice

Itération du principe de Gauss-Seidel

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Numerische Mathematik Aims and scope Submit manuscript

Summary

The concepts of “compatible”, or “coherent” norm with a splitting of matrix are studied at first. They constitute the adequat tool for proving the convergence of iterations of the formG r =L r +U r →G r+1 =(I-L r ) −1 U r . The Gauss-Seidel transform is thus iterated and the limitG =L+U satisfiesL=0. These (costly!) algorithms may be used for the solution of linear systems.

Résumé

Les notions de norme (de matrices) compatible ou cohérente avec une découpe matricielle sont étudiées dans une première partie. Elles constituent alors l'instrument permettant de prouver la convergence d'algorithmes itératifs de la forme suivante: la matriceG r étant décomposée enL r +U r selon la découpe donnée, on pose

$$G_{r + 1} = (I - L_r )^{ - 1} U_r$$

. On itère donc ainsi la transformation de Gauss-Seidel. A la limite, la matriceG , décomposée selon la découpe enL+U, est telle queL=0. Ces algorithmes sont utilisables (mais onéreux) pour la résolution de systèmes linéaires.

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Robert, F., Maitre, J.F. Normes et algorithmes associés à une découpe de matrice. Numer. Math. 19, 303–325 (1972). https://doi.org/10.1007/BF01404878

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