Sur le développement de la fonction des forces dans le problème de deux corps finis

Résumé

Il est envisagé dans ce travail la procédure du développement de la fonction des forces de deux corps finis, dont les particules élémentaires s'attirent mutuellement par la force proportionnelle à un certain puissance de leur distance.

Chaque corps, possedant une forme et une structure bien déterminées, peut avoir une, deux ou trois dimensions.

L'interaction de deux corps est définie par la fonction:

$$U = f\int\limits_{(T_0 )} {\int\limits_{(T_1 )} {\Delta ^k dm_0 dm_1 } } $$

(k — un nombre réel quelqonque) des douze variables indépendantes — les six coordonnées des centres de réduction des corps et leurs six angles d'Euler.

Le développement de cette fonctionU a la forme:

$$U = fR^k \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{U_n (\xi , \eta , \zeta )}}{{R^{2n} }}} $$

où

$$R^2 = \xi ^2 + \eta ^2 + \zeta ^2 $$

et

$$U_n = \sum\limits_{n_1 + n_2 + n_3 = n} {U_n^{(n_1 , n_2 , n_3 )\xi ^{n_{_1 } } \eta ^{n_{_2 } } \zeta ^{n_{_3 } } } } $$

sont les polynômes homogènes de degrén des différences des coordonnées rectangulaires des centres de réduction, pour lequels on peut prendre les centres de gravité.

Les coefficients des polynômesU ^(...)_n étant linéaires par rapport aux ‘coefficients de structure’ des corps, sont les polynômes homogènes dun-me degré par rapport aux cosinus directeurs des axes propres des corps en le système absolu.

Il est établi dans ce travail la forme générale du développement de la fonction des forcesU et sont démonstrées les propriétés principales des coefficients, indépendantes du nombrek dans la loi d'interaction.

Nous donnerons aussi quelques termes premiers du développement général, correspondants au cas particulierk=−1 de l'approximation classique bien connue de la fonction des forces d'attraction Newtonienne des deux corps solides.

Abstract

In this paper we consider the development of the force function of two arbitrary finite bodies, the elementary particles of which interact according to a force, which is proportional to a certain degree of their mutual distance. We establish the general structure of development and note its principal properties. We give the complete expression for the first terms of development to the 4th order inclusive. We identify two important particular cases: that in which the bodies possess three planes of symmetry and that in which they possess axial symmetry. We find the finite expression for the force function of the two homogeneous spheres.

Резюме

В этой работе рассматривается раеложение силовой функции двух произвольных, конечных тел, элементарные частицы которых взаимодействуют с силой, пропорциональной некоторой степени взаимного расстояния. Устанавливается общая структура разложения и отмечаются его основные свойства. Даются полные выражения первых членов до 4-го порядка включительно. Отмечаются важные частные случаи, в которых тела обладают тремя плоскостями симметрии и когда они являются осесимметричными. Находится конечное выражение для силовой функции двух однородных шаров.