Zusammenfassung
Auf die zu einem Primideal\(\mathfrak{p}\) gehörigenDifferentialkongruenzen 1 wird dieLiesche Theorie der Transformationsgruppen 2 angewendet und gezeigt, daß auf jeder irreduziblen algebraischen Mannigfaltigkeit der Dimensiond eined-gliedrige kontinuierliche Gruppe von Transformationen der Mannigfaltigkeit in sich existiert. Die Transformationsgleichungen werden explizit aufgestellt; sie vermitteln gleichzeitig eine im allgemeinen umkehrbar eindeutige Abbildung der Mannigfaltigkeit auf einen gewissen Fundamentalbereich im Parameterraum, in dem sich die Transformationsgruppe als Gruppe der Translationen ausdrückt.
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Literatur
Den Begriff der “Differentialoperatoren” und der mit ihnen gebildeten “Differentialkongruenzen” habe ich zum ersten Mal in meiner Arbeit “Über eine neue idealtheoretische Grundlegung der algebraischen Geometrie”, Math. Ann.115 (1938), 333–358 entwickelt. Die wesentlichen Voraussetzungen für das Verständnis des obigen sind auch in meinem Buch “Moderne algebraische Geometrie. Die idealtheoretischen Grundlagen”, Springer-Verlag, Wien und Innsbruck, 1949, S. 115f. enthalten. Die obigen Ausführungen sind aufhomogene Primideale undhomogene Koordinaten beschränkt; den Übergang zu inhomogenen Koordinaten kann man in jedem Fall durch eine passend gewählte Substitution, etwax 0=1, bewerkstelligen. Es wäre auch nicht schwierig, die Theorie von vornherein für inhomogene Ideale zu entwickeln.
S. Lie, Theorie der Transformationsgruppen. I. Abschnitt. Unter Mitwirkung vonF. Engel. Teubner, Leipzig, 1888.
Bezüglich derPrimbasis vgl. die oben zitierten Arbeiten; Formel (6) bedeutet in der üblichen Schreibweise, daß eine Formf aus\(\mathfrak{k}\) dann und nur dann in\(\mathfrak{p}\) enthalten ist, wenn Φf ε (p 1, ...,p r), d. h. wenn\(\Phi f = \varphi _1 p_1 + \varphi _2 p_2 + \ldots + \varphi _r p_r \) mit passenden Formenϕ 1, ...,ϕ r aus\(\mathfrak{k}\) darstellbar ist. Das Ideal (p 1, ...,p r) ist ein Hauptklassenideal, welches die isolierte Primärkomponente\(\mathfrak{p}\) besitzt.
Dasselbe gilt sinngemäß auch dann, wennf eine gebrochene Form aus\(\mathfrak{k}*\) ist.
Man beachte (17)!
Das sind alle Punkte, in denen die ϑ ij stetig sind und ihre Matrix keine Rangerniedrigung erleidet. Wenn wir alle ϑ ij ganz voraussetzen, so werden im allgemeinen nur die singulären Punkte der\(AM(\mathfrak{p})\) Ausnahmen bilden.
Das System (20) heißtautonom, weil die Variablet auf der rechten Seite nicht explizit vorkommt. Darauf sind die für uns wichtigen besonderen Eigenschaften der Lösungen begründet.
Nicht notwendig der Mannigfaltigkeit\(AM(\mathfrak{p})\).
Vgl. etwa:G. Sansone, Equazioni differenziali nel campo reale. Parte prima. Zanichelli, Bologna, 1941, p. 116 ss.
G. Sansone eR. Centi, Equazioni differenziali non lineari, Cremonese, Roma, 1956. Die ersten Beweise sind vonCauchy undWeierstraß (1842), vgl. Math. Werke vonK. Weierstraß, 1. Bd., S. 75–85.
Die etwaigen singulären Punkte können nur auf der Peripherie des Konvergenzkreises liegen.
Wir bezeichnen mit “Weg” eine reell ein-dimensionale Untermannigfaltigkeit der\(AM(\mathfrak{p})\).
Diese Fortschreitungsrichtung schneidet eine reell zwei-dimensionale Untermannigfaltigkeit aus.
Der OperatorD enthält die Invarianteg 3 nicht; sind daher die Anfangswerte {x 0,x 1,x 2} vorgegeben, so kanng 3 nachträglich so bestimmt werden, daß dieser Punkt auf der elliptischen Kurvep(x)=0 liegt.
In der Tat unterscheiden sich die zum Operatort 0 D 0+t 1 D 1+ ... +t dDd gehörigen LösungenX k nur um den gemeinsamen Proportionalitätsfaktore t 0 von den zut 1 D 1+ ... +t dDd gehörigen Lösungen.
Ausnahmspunkte, in denen irgendeine Form ϑ jk (x) unendlich wird oder die aus ihnen gebildete Matrix einen Rang <d aufweist, haben eine (komplexe) Dimension <d und können daher den Zusammenhang der algebraischen Mannigfaltigkeit\(AM(\mathfrak{p})\) nicht zertrennen; d. h. man kann immer einen Weg von einem Punkt zu einem beliebigen andern Punkt auf der Mannigfaltigkeit angeben, der keinen Ausnahmspunkt berührt. Ferner sind alle Ausnahmspunkte Häufungspunkte von regulären Punkten der\(AM(\mathfrak{p})\).
Daß sie diese erfüllen, folgt aus (43″) genau so wie im eingliedrigen Fall aus (29).
“Reguläre” Punkte hinsichtlich der DifferentialoperatorenD i sind alle Punkte der Mannigfaltigkeit\(AM(\mathfrak{p})\), in denen diese Operatoren stetig und linear unabhängig (über\(\mathfrak{k}*\)) sind. Die Ausnahmspunkte, die nicht “regulär” sind, haben höchstens die (komplexe) Dimensiond−1 und können daher died-dimensionale a algebraische Mannigfaltigkeit\(AM(\mathfrak{p})\) nicht zertrennen; jeder Ausnahmspunkt ist Häufungspunkt von regulären Punkten.
In Ausnahmsfällen können diese Transformationen birational sein.
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Gröbner, W. Kontinuierliche Transformationsgruppen auf algebraischen Mannigfaltigkeiten. Monatshefte für Mathematik 61, 209–224 (1957). https://doi.org/10.1007/BF01371050
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01371050