Zusammenfassung
Periodische DIagonalkettenbrüche weisen — über die bekannte, in ihrer Definition begründete, Grundeigenschaft hinaus — bemerkenswerte Regelmäßigkeiten auf. IN dieser Arbeit ist aufgezeigt, daß der NäherungsbruchA v−1 /B v−1 der quadratischen Irrationalzahl\(\xi _0 = (P_0 + \sqrt D )\):Q 0 (normiert,Q 0>0 angenommen),dann und nur dann auch Näherungsbruch der Diagonal-kettenbruchentwicklung von ξ0 ist, wenn der NennerQ v in dem vollständigen Quotienten\((P_v + \sqrt D )\):Q v von ξ0 kleiner ist als\(\sqrt D \) (Satz 4), ausgenommen höchstens den Fall, daß ν der Vorperiode oder der 1. Periode der regelmäßigen Kettenbruchentwicklung von ξ0 angehört.
Ist speziell\(\xi _0 = \sqrt D \) die Quadratwurzel aus einer natürlichen nichtquadratischen Zahl, so gilt die Regelmäßigkeit für alle ν≧1 (Satz 1). In Satz 4 ist näher erläutert, von welchem ν an die Formel im allgemeinen Fall notwendig gilt.
Das gegebene Kriterium erleichtert sowohl die Bestimmung der Diagonalkettenbruchentwicklung quadratischer Irrationalzahlen als auch die Lösung „diophantischer“ Ungleichungen, wie es auch weitere, über den Rahmen dieser Arbeit hinausgehende, theoretische Schlußfolgerungen ermöglicht, auf die wir in anderem Zusammenhang eingehen werden.
Literatur
Minkowski, H.: Über die Annäherung an eine reelle Größe durch rationale Zahlen. Math. Ann.54, 91–124 (1901).
Patz, W.: Tafel der regelmäßigen Kettenbrüche und ihrer vollständigen Quotienten für die Quadratwurzeln aus den natürlichen Zahlen von 1–10000. Berlin: Akademie-Verlag 1955.
Perron, O.: Die Lehre von den Kettenbrüchen. I. 3. Aufl. Stuttgart: Teubner 1954.
Pipping, N.: Tafel der Diagonalkettenbrüche für die Quadratwurzeln aus den natürlichen Zahlen von 1–500. Acta acad. Aboensis, math. phys. 15.10 (1947).
-- Diagonalkettenbrüche. Acta acad. Aboensis, math. phys. 16.5 (1949).
-- Eigenschaften der Diagonalkettenbrüche. Acta acad. Aboensis, math. phys. 17.5 (1951).
Selenius, C-O.: Konstruktion und Theorie halbregelmässiger Kettenbrüche mit idealer relativer Approximation. Acta acad. Aboensis, math. phys. 22.2 (1960).
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Herrn Prof.Nils Pipping, Helsingfors, zum 75. Geburtstag am 14. Mai 1965 gewidmet
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Selenius, CO. Ein Kriterium für die periodischen Diagonalkettenbrüche. Math. Ann. 164, 94–103 (1966). https://doi.org/10.1007/BF01351814
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01351814