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Literatur
Ich möchte nicht versäumen, HerrnHenri Cartan, der die Freundlichkeit hatte, das Manuskript dieser Arbeit durchzulesen, für mehrere wertvolle Hinweise zu danken, so für den Hinweis auf die Gültigkeit der aufgestellten Sätze auch für die arithmetischen Mittel, die beschränkten unendlichen Folgen reeller Zahlen zugeordnet sind, und auf den Begriff der „Konvergenz nach einem Filter“, als deren Sonderfall der hier eingeführte Begriff der Quasikonvergenz erscheint, und insbesondere für den durch die Aufstellung des Hilfssatzes wesentlichen vereinfachten Beweis des Satzes 3.
Die Quasikonvergenz kann als Sonderfall der „Konvergenz nach einem Filter\(\mathfrak{F}\)“ aufgefaßt werden (s.N. Bourbaki: Topologie Générale. Paris 1940). Im obigen Falle ist\(\mathfrak{F}\) ein Filter über der MengeN aller ganzen, positiven Zahlen, welcher sämtliche TeilmengenA \( \subset \) N enthält, für die der Quotient der Anzahl der Elemente des vonA und denn ersten Zahlen vonN gebildeten Durchschnittes dividiert durchn mitn → ∞ gegen 1 konvergiert. Mit quasikonvergenten Folgen kann genau wie mit konvergenten Folgen gerechnet werden. Dies folgt aus der „Konvergenz nach einem Filter“, kann aber auch unabhängig davon leicht nachgewiesen werden. Ebenso gilt dasCauchysche Konvergenzkriterium.
Zum Begriff der bernoullischen Folge vgl. auchR. v.Mises: Wahrscheinlichkeit, Statistik und Wahrheit. Dritte, neubearbeitete Auflage, S. 133–134. Wien 1951. Man beachte, daß in obiger Definition nicht die Existenz des limH t vorausgesetzt wird.
Vgl. Fußnote 4).
Vgl. v.Mises, loc. cit. S. 133.
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Thullen, P. Über das Konvergenzproblem der relativen Häufigkeiten in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Math. Ann. 131, 346–353 (1956). https://doi.org/10.1007/BF01350104
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01350104