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Literatur
Zum Unterschied dazu, daß die Metriken (als geordnete Mengen mit einer zweistelligen Operation aufgefaßt) bisher selber untersucht wurden, interessieren wir uns im folgenden also für die Folgerungen, die sich aus einer (nicht-archimedischen) Metrisierbarkeit für den metrisierten topologischen Raum ergeben können. Vgl.N. Bourbaki: Eléments de Mathématique, Livre III, Chap. V, 7–13. Paris 1947. Besonders deutlich tritt der Unterschied a. a. O., Exercises (1), S. 16 oben, hervor. Wir weisen ferner auf Untersuchungen über nicht-archimedische Metriken hin, worin die Dreiecksrelation zu ϱ(ξ, η) ≦ Max [ϱ(ξ, ζ), ϱ(η, ζ)] verschärft ist. Vgl.J. de Groot: Non-archimedean metrics in topology. Proc. Amer. Math. Soc. 7, Nr. 5, 948 ff. (1956). Da hierbei die Metrisation aber mittels der nicht negativen, reellen Zahlen erfolgt und „nur“ die Dreiecksrelation verschärft ist, ist unser Metrisierbarkeitsbegriff also in völlig anderem Sinne nicht-archimedisch als dort.
Im Gegensatz zu den “systems of magnitudes” [vgl.Behrend, F. A.: A contribution to the theory of magnitudes and the foundations of analysis. Math. Z.63, 345–362 (1956)] müssen wir für unsere Zwecke wegen der unten folgenden Identitätsbedingung ein 0-Element hinzunehmen. Unsere Bedingungen (4) und (5) sind äquivalent mit (AO 2 r) und (AO 2 l) für vollständige Systeme (vgl. a. a. O., S. 347 Mitte und S. 349 oben). Ähnlich kann man unsere Bedingung α ≦ 0 + α von (6) als eine gewisse Abschwächung von (AO 1 l) (vgl. a. a. O., S. 348 unten) auffassen. Wir fordern aber weder das assoziative Gesetz (A 1 r) noch (A*2 r) noch das Archimedische Gesetz (vgl. a. a. O., S. 347). Dagegen haben wir die Bedingung (7), die für die Behrendschen Systeme nicht erforderlich ist. Daß es nicht-archimedische Metriken gibt, zeigt das letzte der oben anschließenden Beispiele. Vgl. auchBehrend, F. A.: Zum Metrisierbarkeitsbegriff vonK. Wagner. Math. Ann.125, 140–144 (1952). A system of independent axioms for magnitudes. Proc. Royal Soc. N.S.W.87, 27–30 (1953).
Ist umgekehrt jedesX v (v=1, ...,n) mittels einer Metrik\(\mathfrak{M}_{( + )}^v \) metrisierbar, so folgt leicht, daß auchX mittels des lexikographisch total geordneten Verbindungsproduktes von\(\mathfrak{M}_{( + )}^1 , \ldots ,\mathfrak{M}_{( + )}^n \) metrisierbar ist. Ist unserX speziell eine einfach geordnete Menge und selber eine Metrik, die außerdem noch mit sich selbst metrisierbar ist, so ergibt sich aus jedem Satz über (allgemeine) Metrisierbarkeit geordneter Mengen als Spezialfall ein Satz über Metriken. Vgl. Theorem I der ersten in Fußnote 2) zitierten Note, S. 350 unten, im Zusammenhange mit unserem Satz.
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Wagner, K. Über nicht-archimedische Metrisierbarkeit inn-fach geordneten Mengen. Math. Ann. 134, 33–40 (1957). https://doi.org/10.1007/BF01342829
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01342829