Berechnung der Matrixelemente des H-Atoms mittels der Laplace-Transformation

Zusammenfassung

In einer Reihe früherer Veröffentlichungen wurde gezeigt, daß sich wellenmechanische Rechnungen ausnahmslos wesentlich vereinfachen lassen, wenn man auf sie die Methoden derLaplace-Transformation (LT) anwendet. Nachdem mit Hilfe dieses Kalküls bereits zahlreiche wellenmechanische Fragen behandelt wurden, wird in vorliegender Arbeit als weiterer Beitrag hierzu die Berechnung der Matrixelemente, d.h. die Auswertung von Integralen über Eigenfunktionen, mittels der LT durchgeführt. Als Eigenfunktionen werden die radialen WellenfunktionenR _nl(γ) des H-Atoms verwendet. Die Verwendung eines Satzes der LT gestattet es, das Integral$\int\limits_0^\infty {R_{nl} R_{n'l'} r^m dr}$ für beliebigen, l, n′, l′, m auszurechnen. Aus dem gefundenen allgemeinen Ergebnis läßt sich dann durch Spezialisierung der Normierungsfaktor, das elektrische Moment und der Mittelwert für eine beliebige Potenzr ^m sofort angeben, welche Ergebnisse also bei Verwendung der LT in einemeinzigen Rechnungsgang hergeleitet werden, was bei Verwendung der üblichen Methoden nicht möglich ist. Die Rechnungen werden, nach Erläuterung des Verfahrens und Zusammenstellung der benötigten Hilfsmittel, im einzelnen durchgeführt. Nach Herleitung des allgemeinen Ergebnisses ergeben sich aus ihm durch Spezialisierung die vorstehend genannten Größen (Normierungsfaktor usw.).