Theorie der Versetzungen in eindimensionalen Atomreihen

Zusammenfassung

Zur Untersuchung des Zustandes plastisch inhomogen verformter Kristalle wird als eindimensionales Kristallmodell eine Atomreihe mit dem Atomabstanda betrachtet, in welcher benachbarte Atome elastisch miteinander gekoppelt sind, und auf welche ein zeitunabhängiges, räumlich periodisches Potential mit der Periodeα (α ≠a) wirkt. Unter der praktisch immer zulässigen Annahme, daß die Atomverschiebungenq _n , von vorgegebenen Anfangslagen z ⁰_n aus gerechnet, sich nur hinreichend langsam mit der Atomnummern ändern, können diese Verschiebungen als Funktionswerte einer diskreten Folge von Argumentenn einer stetigen Funktionq der beiden unabhängigen Variablen Ortn und Zeitt angesehen werden. Für diese Funktion wird auf Grund desHamiltonschen Prinzips eine nichtlineare partielle Differentialgleichung vom hyperbolischen Typ aufgestellt. Wegen der Nichtlinearität der Gleichung sind die Anfangslagen von wesentlichem Einfluß auf den Charakter der Lösungen. Nur linear voneinander abhängige Anfangslagen ergeben ein und denselben Endzustand der Atomreihe. Für die dieser Bedingung genügenden Anfangslagen z ⁰_n =n α und z ⁰_n =n ·a läßt sich die Differentialgleichung durch elliptische Integrale erster Gattung (Modulk) allgemein lösen. Die Lösungen beschreiben periodisch angeordnete Versetzungen, deren Abstand eine Funktion vonk ist. Sie sind gleichförmiger Bewegungen fähig, bei welchen sie „relativistische“ Kontraktionen erfahren, wobei die Schallgeschwindigkeit die Rolle der Grenzgeschwindigkeit spielt. Die Stabilitätsbedingungen in endlichen Atomreihen werden diskutiert. Es wird begründet, daß diese Lösungen vom Standpunkt der Plastizität von Kristallen aus nicht genügend allgemein sind. Der Charakter allgemeinerer Lösungen wird an einem Beispiel erläutert, das entsprechende Lösungsverfahren wird in Teil II beschrieben werden.