Abstract
Hadwiger showed by computing the intrinsic volumes of a regular simplex that a rectangular simplex is a counterexample to Wills' conjecture for the relation between the lattice point enumerator and the intrinsic volumes in dimensions not less than 441. Here we give formulae for the volumes of spherical polytopes related to the intrinsic volumes of the regular crosspolytope and of the rectangular simplex. This completes the determination of intrinsic volumes for regular polytopes. As a consequence we prove that Wills' conjecture is false even for centrally symmetric convex bodies in dimensions not less than 207.
Similar content being viewed by others
References
[BW]Betke, U., Wills, J. M.: Stetige und diskrete Funktionale konvexer Körper. In: Contributions to Geometry (Proc. Geom. Sympos., Siegen, 1978, ed. Tölke, J., Wills, J. M.), pp. 226–237. Basel: Birkhäuser. 1979.
[BöH]Böhm, J., Hertel, E.: Polyedergeometrie inn-dimensionalen Räumen konstanter Krümmung. Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften. 1980.
[BHW]Bokowski, J., Hadwiger, H., Wills, J. M.: Eine Ungleichung zwischen Volumen, Oberfläche und Gitterpunktanzahl konvexer Körper imn-dimensionalen euklidischen Raum. Math. Z.127, 363–364 (1972).
[BF]Bonnesen, T., Fenchel, W.: Theorie der konvexen Körper. Berlin: Springer. 1934.
[GL]Gruber, P. M., Lekkerkerker, C. G.: Geometry of Numbers. Amsterdam: North Holland. 1987.
[H]Hadwiger, H.: Gitterpunktanzahl im Simplex und Wills'sche Vermutung. Math. Ann.239, 271–288 (1979).
[Mc]McMullen, P.: Non-linear angle-sum relations for polyhedral cones and polytopes. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc.78, 247–261 (1975).
[McS]McMullen, P., Shephard, G. C.: Convex Polytopes and the Upper Bound Conjecture. London: Cambridge University Press. 1971.
[N]Nosarzewska, M.: Evaluation de la différence entre l'aire d'une région plane convexe et le nombre des points aux coordonnées entières couverts par elle. Coll. Math.1, 305–311 (1948).
[O]Overhagen, T.: Zur Gitterpunktanzahl konvexer Körper im 3-dimensionalen euklidischen Raum. Math. Ann.216, 217–224 (1975).
[PS]Pólya, G., Szegö, G.: Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis I. (4. Aufl.) Berlin: Springer. 1970.
[R]Ruben, H.: On the geometrical moments of skew-regular simplices in hyperspherical space; with some applications in geometry and mathematical statistics. Acta. Math. (Uppsala)103, 1–23 (1960).
[Sch]Schläfli, L.: Gesammelte math. Abh. 1 (Theorie der vielfachen Kontinuität, 1852). Basel: Birkhäuser. 1953.
[W]Wills, J. M.: Zur Gitterpunktanzahl konvexer Mengen. Elem. Math.28, 57–63 (1973).
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Betke, U., Henk, M. Intrinsic volumes and lattice points of crosspolytopes. Monatshefte für Mathematik 115, 27–33 (1993). https://doi.org/10.1007/BF01311208
Received:
Revised:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF01311208