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Über die Hundekurven mit konstantem Schielwinkel

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Literatur

  1. Bouguer: Sur de nouvelles courbes auxquelles on peut donner le nom de lignes de poursuite. Mém. math. phys. Ac. Sci. Paris, 1732, 1–14.De Maupertuis: Sur les courbes de poursuite. Ebenda, 15–16.— Zusammenfassende Darstellung beiG. Loria-F. Schütte: Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven (Leipzig/Berlin 1911), Bd. II, 241–247. Vgl. fernerV. Lalan: Contribution à l'étude de la courbe de poursuite. Comptes rendus 192 (1931), 466–469.

  2. R. Wunderlich: Verfolgunskurven. Naturforschung und Medizin in Deutschland 1939–1946, Bd. 3/I, 269–307.

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  3. W. Wunderlich: Über fünf Aufgaben der Seetaktik. Z. math. natw. Unterr. 72 (1941), 97–102.

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  4. W. Wunderlich: Dreidimensionale graphische Fahrpläne. Vrotrag, gehalten am 26. 9. 1950 anläßlich der Tagung für mathematischen Unterricht in Graz (Nachr. Österr. Math. Ges. Nr. 13, S. 5).— Den Einsatz derartiger Raumdiagramme in der Optik empfiehlt auchA. Reuschel: Über ein dreidimensionales Verfahren zur Behandlung optischer Probleme. Optik 10 (1953), 470–475. Eine einfache Konstruktion und Berechnung der Schmidtschen Korrektionslinse mit Hilfe einer räumlichen Abbildung. Vortrag, gehalten am 21. 9. 1956 anläßlich des IV. Österr. Mathematikerkongresses in Wien (Nachr. Österr. Math. Ges. Nr. 47/48, S. 83).

  5. Der Sachverhalt wird anschaulich besonders klar, wenn man sich die FixpunkteU, V in die absoluten Kreispunkte verlegt denkt:c undc * sind dann konzentrische Kreise undU ist eineDrehstreckung um den gemeinsamen MittelpunktW.

  6. Die bei der Konstruktion der Leitlinieq eintretende Zweideutigkeit läßt sich auf Grund der durch die Aufgabenstellung bedingten Orientierung ausschalten. Beschränkt man sich etwa auf spitze Schielwinkel — was für eine wirkliche, “Verfolgung” unerläßlich ist, aber auch geometrisch keine wesentliche Einschränkung bedeutet, da bloße Bewegungsumkehr den Schielwinkel um 180° ändert —, so ist von den beiden Lösungen sterts jene auszuwählen, bei welcherO′ auf dem positiven Bewegungsblauf entsprechenden Halbstrahl vonl′ zu liegen kommt.

  7. Die Ermittlung der Böschungslinien eines beliebigen Kegels 2. Grades läuft im allgemeinen — d. h. wenn er mit dem Böschungsfernkreis vier getrennte Punkte gemein hat — auf elliptische Integrale hinaus.

  8. Der Kegel Γ berührt zwei Seiten des Fixtetraeders längs der KantenOU undOV und wird vermögeI in einen gleichartigen Kegel übergeführt, der denP 0 entsprechenden PunktP 1 enthält; der hiedurch eindeutig festgelegte Kegel ist daher mit Γ identisch. Die Invarianz der Fernebene ω bedingt die Invarianz vonc und diese zieht die Invarianz vond nach sich, dad ausc durch eine invariante Zentralkollineation mit dem ZentrumW und der AchseUV abgeleitet werden kann.

  9. Vgl.W. Wunderlich: Über die Böschungslinien auf Flächen 2. Ordnung. Sitzungsber. Ak. Wiss. Wien 155 (1947), 309–331, insb. Abschn. VI.

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  10. Die vorliegenden Affinitäten führen den reellen Fernkreisd in sich über, können demnach alsÄhnlichkeiten bzw. Bewegungen einer pseudoeuklidischen Geometrie aufgefaßt werden —, “C-Geometrie” beiE. Müller-J. Krames: Vorlesungen über darstellende Geometrie, Bd. II “Die Zyklographie” (Leipzig/Wien 1929). In diesem Sinne wären dann die auftretendenW-Kurven als pseudoeuklidische Seitenstücke zu den zylindrokonischen Spiralen bzw. Schraublinien anzusehen.

  11. Entsprechende Punktreihen auf zwei einandor durch eine AffinitätI n (n≠0) zugeordneten Kegelerzeugenden sind projektiv, wegen des selbsteentsprechenden PunktesO in perspektiver Lage und wegen der entsprechenden Fernpunkte durch ein Parallelenbüschel aufeinander bezogen. Aus den parallelen Bahnsehnen werden dann mitn→0 in der Grenze parallele Bahntangenten für die Punkte einer Erzeugenden.

  12. Die Beschränkung auf positive und wie immer spitze Schielwinkel geschieht nur, um die Vorstellung zu fixieren; die gewonnenen Formeln behalten ihre Gültigkeit aber auch für andere Werte.

  13. W. Wunderlich: Darstellende Geometrie der Spiralflächen. Monatsh. Math. Phys. 46 (1938), 248–265.

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  14. W. Wunderlich: Über eine affine Verallgemeinerung der Grenzschraubung. Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien 144 (1935), 111–129.

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  15. Vgl. etwaG. Loria-F. Schütte: Spezielle Algebraische und Transzendente ebene Kurven II, 243.

  16. Dieser Umstand gab seinerzeit den Analaß zur Einführung eines Schielwinkels.

  17. Eine ähnliche Konstruktion für die gewöhnlichen Hundekurven gabL. Burmester in seinem Lehrbuch der Kinematik (Leipzig 1886), S. 63.

  18. Dieser Umstand machte den von der Einführung des Schielwinkels erwarteten Effekt für die Waffentechnik illusorisch.

  19. “Drehkreiskurven” beiR. Hosemann a. a. O.—Für die gewöhnlichen Hundekurven (σ=0) reduziert sich die Drehkreiskurvej s auf einen doppelt zählendenKreis; die Krümmungsgleichej′ weist eine Selbstberührung auf.

  20. R. Hosemann führt a. a. O. dir Integration der Gleichung (20.2) mittels der komplexen Substitutionz=exp(iϕ) durch.

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  1. Wien

    Walter Wunderlich

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  1. Walter Wunderlich
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Wunderlich, W. Über die Hundekurven mit konstantem Schielwinkel. Monatshefte für Mathematik 61, 277–311 (1957). https://doi.org/10.1007/BF01305935

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