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References
Enzyklopädie d. math. Wiss., 2. Aufl., 1939, Bd. II, Heft 5,W. Krull, Theorie der Polynomideale und Eliminationstheorie, S. 12ff. —B. L. v. d. Waerden, Moderne Algebra, 2. Aufl., 1940, Bd. 2, S. 1 ff.
Vgl. etwa dieHentzeltsche Eliminationsmethode im oben zitierten Artikel vonKrull, S. 14f.
Das hat sich tatsächlich gezeigt bei der genaueren Diskussion eines vonVahlen (Crelles Journal f. Math.108 (1891)) gegebenen Beispiels für einen bekannten Satz vonKronecker, wonach jedes System von algebraischen Gleichungen inn Variablen einem System von höchstensn+1 Gleichungen äquivalent sei (so daß beide Systeme dieselben Lösungen besitzen, vgl etwaJ. König, Einleitung in die allgemeine Theorie der algebraischen Größen, Leipzig 1903, S. 234ff.), oder eine algebraische Mannigfaltigkeit in einem linearenn-dimensionalen Raum immer durch höchstensn+1 Gleichungen dargestellt werden könne (vgl.E. Bertini, Introduzione alla geometria proiettiva degli iperspazi, 2a ed. Messina 1923, p. 232 s.). Da ein genauer, allgemein anwendbarer Multiplizitätsbegriff damals nicht vorhanden war und auch heute noch umstritten ist, trotzdem der Aufbau der algebraischen Geometrie ohne diesen nicht möglich ist, wurden die damit verquickten Probleme vielfach nur in gefühlsmäßiger Weise behandelt und gelöst, so daß die Resultate einer strengen Kritik nicht standhalten können. Vgl.O. Perron, Über das Vahlensche Beispiel zu einem Satz von Kronecker, Math. Ann.118 (1942), S. 441–448; — Über die Bedingungen, daß eine binäre Formn-ten Grades einen-te Potenz ist, und über die rationale Kurven-ter Ordnung imR n , Math. Ann.118 (1941/43), S. 305–309; — Studien über den Vielfachheitsbegriff und den Bézoutschen Satz, Math. Zeitschr.49 (1944), S. 654–680. FernerF. Severi, Über die Darstellung algebraischer Mannigfaltigkeiten als Durchschnitte von Formen, Abh. Math. Sem. Hamburg15 (1943), S. 97–119; Il concetto di molteplicità delle soluzioni pei sistemi di equazioni algebriche e la teoria dell'eliminazione, Annali mat. pura appl. (IV)26 (1947), p. 221–270.
Zusatz bei der Korrektur: Diese Diskussionen und mündliche Besprechungen während des Mathematiker-Kongresses in Innsbruck (29. 8. bis 2. 9. 1949) haben klargestellt, daß auf der Seite der modernen Algebra bisher noch kein allgemein anwendbarer Multiplizitätsbegriff existierte (vgl.v. d. Waerden, Zbl. f. Math.25 (1942), S. 211f.: “Nun ist aber die Vielfachheit eines nicht isolierten Schnittpunktes von 3 Flächen meines Wissens noch nie definiert worden”); andererseits muß anerkannt werden, daß in der italienischen Schule der algebraischen GeometrieSeveri seit langem einen allgemeinen Multiplizitätsbegriff entwickelt hat, dessen genauere Begründung und Definition in den oben zitierten Arbeiten unternommen wurde. Es ist auch klar, daß alle Diskussionen über denKroneckerschen Satz und ähnliche weitergehende Sätze der algebraischen Geometrie ergebnislos verlaufen müssen, solange kein beiderseits anerkannter Multiplizitätsbegriff vorliegt. Meiner vorliegenden Arbeit liegt der idealtheoretische Multiplizitätsbegriff zugrunde, den ich in meinem Buch “Moderne algebraische Geometrie” (Wien 1949) entwickelt habe; dieser ist sehr einfach und allgemein anwendbar, stimmt aber nicht genau mit demSeverischen Begriff überein, welcher Stetigkeits-betrachtungen und Grenzübergänge benützt. Der idealtheoretische Begriff dürfte m. E. wegen seiner Einfachheit und Allgemeinheit für den ersten Aufbau der algebraischen Geometrie vorzuziehen sein; dagegen wird die Behandlung derSeverischen Äquivalenzsysteme die Notwendigkeit herausstellen, einen “virtuellen” Multiplizitätsbegriff hinzuzunehmen, der mit demSeverischen Multiplizitätsbegriff im wesentlichen übereinstimmt.
Der Begriff “zugehörige algebraische Mannigfaltigkeit” ist hier in dem feineren, die Multiplizität jeweils einschließenden Sinne zu verstehen; vgl. meine “Moderne algebraische Geometrie”, Wien 1949, S. 81ff.
Vgl. die genaueren Entwicklung darüber in meinem oben zitierten Buch, S. 39ff.
Über die Bedeutung “benachbart” vgl. mein oben zitiertes Buch, S. 86
Vgl. die oben zitierte Arbeit vonO. Perron, Math. Zeitschr.49 (1944), S. 656ff.
Vgl. mein oben zitiertes Buch, S. 96f.
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Gröbner, W. Über die Eliminationstheorie. Monatshefte für Mathematik 54, 71–78 (1950). https://doi.org/10.1007/BF01304105
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