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References
HerrH. Hopf, Zürich, hatte die Freundlichkeit, mich darauf hinzuweisen, daß schonW. Killing in seinem Buche über “Die Nichteuklidischen Raumformen in analytischer Behandlung” (Teubner, Leipzig, 1885) dieses Problem in einer Weise behandelt hat, die eventuell Interesse verdient. Killing gelangt auf anderem Wege zur Aufstollang der in Anmerkung1) erwähnten Krümmungsmaße und gibt hierauf eine Methode an, um entsprechende Größen für einem-dimensionale Mannigfaltigkeit zu berechnen, die in einenn-dimensionalen Euklidischen Raum eingebettet ist. Diese Methode läßt sich kurz folgendermaßen charakterisieren: Die TangentialhyperebeneE m in einem bestimmten PunkteP der zu untersuchenden Hyperfläche 150-1 wird mit Hilfe eines nicht inE m liegenden Vektors 150-2 erweitert zu einer (m+1)-dimensionalen HyperebeneE m+1 (150-3). Hierauf wird eie Hyperfläche 150-4 normal projiziert auf diese Hyperebene. Die erhaltene Projektion, 150-5 ist also einem-dimensionale Hyperfläche, die in den (m+1)-dimensionalen RaumE m+1 (150-6 eingebettet ist. Nun kann man die unter AnmerkungI) erwähnten Krümmungspsößen berechnen, deren Zahl jetzt natürlichm ist und die bezeichnet sein mögen durchK 1 150-7,K 2 150-8, ...K m 150-9. Aus diesen Größen gewinnt Killing durch geeignete Mittelbildung seine KrümmungsmaßeK 1,K 2, ...K m, und weist nach, daß dieselben mit Ausnahme eines einzigen nur von den Koeffizienten des Linienelements der Hyperfläche abhängen. Dabei konstatiert der Autor, daß ein Teil dieser Größen—diejenigen mit geradem Index—unabhängig ist von der Differenzn−m. Für diese Größen wäre, damit die unter 1) aufgeworfene Frage nach der Existenz absoluter Invarianten in positivem Sinne beantwortet, denn man kann die Dimensionszahln des Einbettungsraumes immer so hoch annehmen, daß keine Einbettungsbedingungen mehr nötig sind.
SieheHilbert-Cohn-Vossen, Anschauliche Geometrie, Seite-302 (Springer, Berlin 1932).
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Scherrer, W. Über die Krümmung einer zweidimensionalen Mannigfaltigkeit im vierdimensionalen Euklidischen Raum. Commentarii Mathematici Helvetici 7, 150–157 (1934). https://doi.org/10.1007/BF01292715
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01292715