Summary
We establish a one-to-one correspondence between the laws of smooth infinite dimensional brownian diffusions and the Gibbs states on the path space\(\Omega = C(0,1)^{\mathbb{Z}^d }\). Applications to phase transition, time reversal and reversible measures are then discussed. The main tool is a characterization of Gibbs states via an infinite dimensional version of the Malliavin calculus integration by parts formula.
Résumé
Nous montrons qu'il y a correspondance biunivoque entre les lois de diffusions browniennes infini-dimensionnelles et les états de Gibbs sur l'espace des trajectoires\(\Omega = C(0,1)^{\mathbb{Z}^d }\). Ce résultat est ensuite appliqué aux problèmes de transition de phases, du retournement du temps et à l'étude des mesures réversibles. Le principal outil est une caractérisation des états de Gibbs par une version infini-dimensionnelle de la formule d'intégration par parties du calcul de Malliavin.
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Cattiaux, P., Roelly, S. & Zessin, H. Une approche Gibbsienne des diffusions Browniennes infini-dimensionnelles. Probab. Th. Rel. Fields 104, 147–179 (1996). https://doi.org/10.1007/BF01247836
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