Les equations aux variations et la 11e integrale du probleme desN corps

Résumé

SoitH=T(p)−U(q) le hamiltonien du problème desN corps en coordonnées cartésiennesq _i=x_i,p _i=m_ix_i.

Dans les Nouvelles Méthodes de la Mécanique Céleste (tome 1, p. 172) Poincaré signale que les équations du mouvement laissent invariante la forme

$$\alpha = \Sigma (q \delta p + \tfrac{1}{2}p \delta q) - \tfrac{3}{2}t \delta H.$$

Cartan a redécouvert cette propriété comme application de sa théorie générale sur les formes différentielles invariantes. (Elie Cartan, Leçons sur les Invariants Intégraux, p. 89, dernière ligne).

Nous nous proposons d'étudier quelques propriétés simples de la forme α qui découlent directement du point de vue de Poincaré, c'est-à-dire de celui des équations aux variations.

Abstract

LetH=T(p)−U(q) the Hamiltonian of theN-body problem in cartesian coordinates. In his ‘Nouvelles Méthodes de la Mécanique Céleste’ (tome 1, p. 172) Poincaré observes that the equations leave invariant the differential form

$$\alpha = \Sigma (q \delta p + \tfrac{1}{2}p \delta q) - \tfrac{3}{2}t \delta H.$$

This property was rediscovered by Elie Cartan in the framework of his ‘Leçons sur les Invariants Intégraux’ (p. 89, last line).

We propose to study some applications of this fact from the point of view of Poincaré, that is: the point of view of the equations of variation.