Etude analytique du voisinage de la resonance 4:4:1 dans les systemes a trois degres de liberte

Resume

On étudie les solutions périodiques d'un système ayant pour Hamiltonien

$$H = \frac{1}{2}\mathop \Sigma \limits_1^3 (\dot x_\alpha ^2 + \omega _\alpha ^2 x_\alpha ^2 ) - \varepsilon x_1 x_\alpha ^2 - \eta x_2 x_\alpha ^2 $$

. Les fréquences ω_α, (α=1, 2, 3) sont proches du rapport 4∶4∶1.

On trouve différentes familles de solutions périodiques dont la période T est voisine de la période T′=2π/ω₃=2π/ω′.

Comme dans le problème à deux degrés de liberté, les familles de solutions proches de l'axe x₃ sont discontinues pour certaines valeurs des paramètres, ω₁, ω₂, ω₃, ε, η. On détermine les conditions initiales conduisant aux solutions périodiques dans une région ε, η=[0; 0.4] avec$\omega ' = \sqrt {0.1}$ et h=0.00765.

Abstract

The periodic solutions for an Hamiltonian system with

$$H = \frac{1}{2}\mathop \Sigma \limits_1^3 (\dot x_\alpha ^2 + \omega _\alpha ^2 x_\alpha ^2 ) - \varepsilon x_1 x_\alpha ^2 - \eta x_2 x_\alpha ^2 $$

are investigated analytically. The frequencies ω_α, α=1, 2, 3 are assumed near the ratio 4—4—1.

We find different families of periodic solutions whose periods are in the vicinity of the period T′=2π/ω₃=2π/ω′.

As in the case of the problem with two degrees of liberty, for particular values of ω₁, ω₂, ω₃ and ε, η, we find that the families near the x₃-axis are discontinuous. These families are periodic with periods near the period T′ in a region for ε, η, approximatively [0; 0.4] if we choose$\omega ' = \sqrt {0.1}$ and h=0.00765.