Perturbations des systèmes différentiels et résultats de géométrie différentielle

Resumé

On utilise les définitions et les résultats classiques de la géométrie différentielle pour étudier les propriétés des transformations dépendant d'un petit paramètre, agissant sur les systèmes différentiels.

Les algorithmes de Hori et Deprit sont définis pour des systèmes quelconques, et leur équivalence montrée.

La propriété dite de covariance est immédiate. Les systèmes canoniques sont ensuite considérés comme étant associés à des champs de vecteurs Hamiltoniens sur une variété symplectique, et la généralité des transformations de Hori et Deprit établie.

Enfin, pour des transformations qui dépendraient de plusieurs paramètres, nous suggérons (la démonstration n'est pas développée) que leurs générateurs infinitésimaux sont des champs de vecteurs Hamiltoniens.

Abstract

We use classical definitions and results of differential geometry in studying properties of transformations depending on a small parameter, acting on differential systems.

Hori's and Deprit's algorithms can be defined for these systems. A lemma is given to show these algorithms are equivalent. The so-called property of covariance is merely established. The canonical systems are then considered as associated with Hamiltonian vectorfields on symplectic manifolds. The property that the infinitesimal generator of a canonical transformation is an Hamiltonian vectorfield permits to establish separately the generality of Hori's and Deprit's algorithms. We suggest that the Hamiltonian vectorfield property can be extended to the generators of transformations depending on several parameters.