La transformation de Lyapunov de l'equation de Hill et son interpretation dynamique

Résumé

La transformation de Lyapunov transforme une équation de Hill en une autre qui occupe la même place dans la classification de Yakubovich.

Soit (C) une solution périodique d'un système conservatif à deux degrés de liberté. D'après le principe de moindre action de Maupertuis (C) est l'image d'une géodésique (Γ).

Nous montrons que les équations aux variations au voisinage de (C) et de (Γ) sont réductibles à deux équations de Hill qui se correspondent par une transformation de Lyapunov.

Abstract

The Lyapunov transformation carries Hill's equationÿ+F(t)y=0,F(t+T)=F(t) into another one which belongs to the same class in Yakubovich's classification.

Let (C) be a closed trajectory of a Lagrangian conservative system with two degrees of freedom. By the ‘Principle of Least action’, we know that (C) is the image of a geodesic (Γ) of a certain two-dimensional surface (Σ).

We show that the two Hill equations associated with (C) and (Γ) are related by a certain Lyapunov transformation.