Orbites periodiques dans un potentiel a trois dimensions II. Bifurcations

Resume

Hayliet al. (1983) ont décrit deux familles d'orbites péra diques dans le potentiel à trois dimensions

$$U = \frac{1}{2}(Ax^2 + By^2 + Cz^2 ) - \varepsilon xz^2 - nyz^2 $$

où$\sqrt A :\sqrt B :\sqrt C = 6:4:3$ et ɛ=0,5. Ils ont observé que les courbes caractéristiques des deux familles semblaient se rencontrer dans l'espace (x₀, y₀, η) pour des valeurs |η|≃0,2.

On démontre ici cette propriété des courbes caractéristiques en écrivant explicitement l'application de Poincaré, et on donne une approximation directement comparable aux résultats numériques trouvés par Hayliet al. (1983). On prouve ainsi que la famille 2P bifurque de la famille 1P.

Abstract

In a previous paper, Hayliet al. (1983), two families of periodic orbits in the three-dimensional potential

$$U = \frac{1}{2}(Ax^2 + By^2 + Cz^2 ) - \varepsilon xz^2 - nyz^2 $$

with$\sqrt A :\sqrt B :\sqrt C = 6:4:3$ and ɛ=0.5 were described. It was found empirically that the characteristic curves of the two families intersect in the space (x₀, y₀, η) for |η|≃0.2.

This property is demonstrated in the present paper by writing explicitely the Poincaré mapping and by giving an approximation directly comparable with the numerical results obtained in Hayliet al. (1983). It is thus shown that one family bifurcates off the other.