An asymptotic solution for the stellar case of the planar Three-Body Problem

Abstract

A simplified model of the planar Three-Body Problem is considered in which two particles, forming a close binary, orbit a distant point. A small parameter ε, related to the distance separating the binary and the remaining mass is defined. The time is eliminated from the equations of motion and an angular variable is used instead. A two-variable expansion procedure is used to find an asymptotic solution. The solution obtained is known completely up to the order ten in ε, and it is valid for almost arbitrary initial conditions. Specification of the initial conditions leads to a solution which is periodic with respect to a modified time variable.

Résumé

On considère un modèle simplifé du Problème Plan des Trois Corps, dans lequel deux particules, formant une binaire proche, sont en orbite par rapport à un troisième point éloigné des deux autres. On définit un petit paramètre ε, lié à la distance séparant la binaire de la particule restante. On élimine le temps des équations du mouvement et on utilise une variable angulaire comme nouvelle variable indépendante. Une méthode de développement à deux échelles est utilisée permettant d'obtenir une solution asymptotique du problème. La solution obtenue est connue complètement jusqu'àl'ordre dix en ε, et elle est valable pour des conditions initiales très générales. Pour des conditions initiales bien déterminées, on obtient une solution périodique par rapport à une nouvelle variable temporelle.