Two-body problem with slowly decreasing mass

Summary

Evolution of the orbital elements of a two-body system with slowly decreasing mass according to Jeans' mode is described by a non-linear, non-autonomous system of differential equations.

In general the system contains one stationary solution (e=1,f=π), for which an instability criterion is derived. For example the stationary solution is unstable for all Jeans-Eddington functionsm _n (t) with 1≦n≦3 which characterize the loss of mass. Furthermore, it is possible to describe the quantitative behaviour ofE+ω,e anda for arbitrarym(t) in a large number of cases. In the case of the Jeans-Eddington functions we find that the amplitude of the oscillations ine is monotone decreasing with time ifn>3 and it is monotone increasing with time ifn<3.

By comparing these analytical results with the numerical calculations of Hadjidemetriou we explain the rapid rotation of the line of apsides which occurs if the initial value ofe is nearly-circular.

Резюме

Эволюция орбитальньхх злементов снстемы двух тел с массами, медленно убывающими по закону Джинса, описывается нелинейной неавтономной системой дифференциальных уравнений.

В общем случае система допускает одно стационарное решение (e=1,f=п), дли которого выводится критерий неустойчивости. Например, это стационарное решение неустойчиво для всех функций Джинса-Эддинчтонаm _n (t), характеризующих потерю массы, при 1≦n≤3. Кроме того, оказалось возможным описать в количественном отношении поведениеE+щ,e иa для произвольной функцииm(t) в большом чииле случаев. В случае функций Джинса-Эддингтона мы находим, что амплитуда колебаний по е монотонно убывает с временем, еслиn>3, и монотонно возрастает с временем, еслиn<3.

Сравнивая эти аналитические результаты с численными сасчётами Хаджидеметриу, мы объясняем быстрое вращение линии апсид, происходящее при почти-круговом начальном значенииe.