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Die Zetafunktion, die Klassenzahl und die Kronecker'sche Grenzformel eines beliebigen Kreiskörpers

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Commentarii Mathematici Helvetici

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Bibliographie

  1. Ueber die Teilkörper des Kreiskörpers\(K \left( {e^{\frac{{2\pi i}}{{l^h }}} } \right)\); K. Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, Proceedings of the Section of Sciences, vol. XXI, pag. 454–465, 758–773, 774–779 (1919); Bestimmung der Klassenzahl der Ideale aller Unterkörper des Kreiskörpers derm-ten Einheitswurzeln, wo die Zahlm durch mehr als eine Primzahl teilbar ist, l. c. vol. XXII, pag. 331–350, 395–414, (1920), und eine Korrektur hiezu, l. c. vol. XXIII, pag. 1399–1401, (1922).

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  2. Die Klassenzahl zyklischer Körper vom Primzahlgrad, deren Diskriminante nur eine Primzahl enthält. Crelle, Bd. 147, pag. 174, (1917).

  3. Werke, pag. 473, wo er auf Bernoulli verweist.

  4. Vgl. insbesondere für allgemeinesm: Ueber die Klassenanzahl der aus zusammengesetzten Einheitswurzeln gebildeten idealen komplexen Zahlen. Monatsberichte der Königl. Preuß. Akad. d. Wiss. zu Berlin aus dem Jahre 1863 (gedruckt 1864), pag. 21.

  5. Immerhin wollen wir noch besonders hinweisen auf eine Arbeit von L. Fuchs: Ueber die aus Einheitswurzehn gebildeten komplexen Zahlen von periodischem Verhalten, insbesondere die Bestimmung der Klassenanzahl derselben. Crelle, Bd.65, pag. 74, (1866), und auf die Arbeiten von H. Weber, vgl. sein Lehrbuch der Algebra, 2. Bd., 2. Auflage, Braunschweig 1899.

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  6. Bericht über die Theorie der algebraischen Zahlkörper. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung Bd.4, (1897). Im folgenden zitiert durch Angabe des Autornamens.

  7. Wir verweisen hier auf das II. und III. Kapitel der «Vorlesungen über die Theorie der algebraischen Zahlen» von E. Hecke, Leipzig 1923. Im folgenden zitiert durch Angabe des Autornamens.

  8. Für die erste der beiden Funktionen vergleiche man: Cesàro, E., Elementares Lehrbuch der algebraischen Analysis und der Infinitestimalrechnung, Leipzig 1904, pg. 304/305; Prinsheim, Math. Ann., Bd. 26, pg. 193 und die dort pg. 195 erwähnten Literaturangaben.

  9. Zur Konstruktion dieser Reihen bin ich gelangt durch das Studium der Arbeit von Hermann Kinkelin, Allgemeine Theorie der harmonischen Reihen mit Anwendung auf die Zahlentheorie. Basel 1862; Programm der Gewerbeschule in Basel für das Jahr 1862, auch Sonderdruck.

  10. FürM=2 findet sich diese evidente Funktionalgleichung, natürlich ohne den Ausdruck (15) schon bei E. Landau; Crelle, Bd. 125, pg. 181. Selbstverständlich geht man zu ihrer Ableitung von der Formel (19) aus. Die analoge Funktionalgleichung für log Γ (χ) findet sich in der eingangs dieses § erwähnten Note von E. E. Kummer.

  11. Einen direkten Beweis für die Vorzeichenbestimmung dieser Gauss'schen Summen liefert z. B. die Funktionalgleichung der Zetafunktion des betr. quadratischen Körpers in Verbindung mit der Funktionalgleichung der gewöhnlichen Riemann'schen Zetafunktion, fürs=o, bezw.s=1. Vgl. z. B.: Gut, M., Ueber die Klassenzahl der quadratischen Körper, Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich, 72. Jahrgang (1927), pg. 197. Man beachte übrigens wohl, dass man auf diese Vorzeichenbestimmung verzichten und sich mit den absoluten Beträgen, also mit Formel (4), begnügen kann, falls man nur dieKlassenzahlbestimmung (vgl. § 7) des Körpers beabsichtigt.

  12. Die Verwendung vonR * siehe z. B. bei Hecke, die Verwendung vonR in E. Landau, Einführung in die elementare und analytische Theorie der algebraischen Zahlen und der Ideale; Leipzig und Berlin 1918. Der Hilbert'sche Zahlbericht ist inkonsequent: Im VII. Kapitel ist der Logarithmus der Norm der komplexen Grundeinheiten genommen (R *) im XXVI. Kapitel für allgemeinesm der Logarithmus des absoluten Betrages der Grundeinheiten (R). Hierauf hat Beeger 1919 l. c. pg. 414 und später, 1923, Mitchell aufmerksam gemacht im ersten der in der Einleitung erwähnten Bulletins of the National Research Council (cfr. dort, pg.17).

  13. Dieser Satz ist ja gerade im Falle eines relativ-Galois'schen Körpers sehr leicht zu beweisen, vgl. z. R. Hecke, Satz 115, pg. 147.

  14. Vgl. die analogen Ausführungen bei Beeger, l. c. 408.

  15. Man vergleiche die in der Anmerkung 14) erwähnte Note.

  16. E. Hecke, Ueber die Zetafunktion beliebiger algebraischer Zahlkörper, Göttinger Nachrichten, Jahrgang 1917, pg. 77–89.

  17. B. Riemann, Werke, pg. 146.

  18. Vgl. die in der Anmerkung 9) erwähnte Arbeit vou H. Kinkelin, oder E. Landau, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Leipzig und Berlin 1909, 1. Bd., pg. 497.

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  1. Zürich

    Max Gut

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Gut, M. Die Zetafunktion, die Klassenzahl und die Kronecker'sche Grenzformel eines beliebigen Kreiskörpers. Commentarii Mathematici Helvetici 1, 160–226 (1929). https://doi.org/10.1007/BF01208364

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