Variational theorems and stepwise mean convergence of approximations to self-adjoint linear systems by general finite sums

Summary

In this paper the approximate solution of a self-adjoint linear differential system by a non-orthogonal finite sum is examined in its most general form. In obtaining the coefficients, the variational concept is based on minimizing the “energy norm” of the error function of the approximation. This systematic treatment is shown to encompass the usual Rayleigh-Ritz and Galerkin methods which arise in certain boundary value problems with homogeneous boundary conditions and the Trefftz method which arises in certain boundary value problems with homogeneous differential equations. Using theorems proviously proven by Ho, it is then shown that the approximation is improved in the “mean” when an additional term is introduced (“stepwise mean convergence”). Conditions on the uniqueness of the solution and the proper prescription of the boundary conditions follow directly from the form of the equation describing the selfadjoint operation. The method is exemplified in the paper by application to the problem in antiplane elastic shear deformation of a finite crack. A surprisingly elegant closed form solution is obtained.

Zusammenfassung

In dieser Arbeit wird die Näherungslösung eines selbstadjungierten, linearen Differentialsystems durch eine nichtorthogonale, endliche Reihe in allgemeinster Form untersucht. Zur Ermittlung der Koeffizienten wird die „Energienorm” der Fehlerfunktion der Näherung minimiert. Die systematische Behandlung umfaßt die üblichen Rayleigh-Ritz- und Galerkin-Methoden für bestimmte Randwertprobleme mit homogenen Randbedingungen, sowie die Trefftz-Methode für bestimmte Randwertprobleme mit homogenen Differentialgleichungen. Unter Verwendung der Theoreme von Ho wird gezeigt, daß die Näherung im „Mittel” durch die Einführung eines weiteren Termes („schrittweise, mittlere Konvergenz”) verbessert werden kann. Bedingungen für die Eindeutigkeit der Lösung und die passende Beschreibung der Randbedingungen folgen direkt aus der Form der Gleichung, die die selbstadjungierte Operation beschreibt. Die Methode wird durch die Anwendung auf das Problem der antiplanen, elastischen Scherdeformation eines endlichen Risses veranschaulicht. Eine überraschend elegante, geschlossene Lösung wird erhalten.